Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

История с циклоидой достигла своего апогея в конце XVII столетия. В новом научном журнале Acta Eruditorum, выходившем в Лейпциге, была опубликована статья, провозглашавшая следующее:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым выдающимся математикам в мире. Ничто так не привлекает интерес умных людей, как подлинная сложная задача, вероятное решение которой может принести славу и остаться вечным памятником… Если кто-то предоставит мне решение предложенной задачи, я публично объявлю его достойным всяческих похвал.

Задача, о которой говорил Бернулли и на которую он уже знал ответ, сводилась к поиску траектории наискорейшего спуска. Другими словами, какой формы должна быть горка, не создающая трения, для того чтобы объект прошел путь от одной точки к другой за кратчайшее время? Искомую кривую обозначили термином «брахистохрона» (греч. brachistochrone, от brachistos — «кратчайший» и chronos — «время»). Бернулли утверждал, что эта траектория не является прямой линией и представляет собой хорошо известную кривую. Если вы еще не догадались, вот вам ответ: эта кривая — циклоида. На представленном ниже рисунке показана траектория наискорейшего спуска из точки А в точки В и С. Поскольку циклоида имеет лишь одну форму, масштаб этой кривой необходимо изменить в зависимости от относительного положения начальной и конечной точек. Кривая либо только опускается (как в случае перемещения из точки А в точку В), либо сначала опускается, а затем поднимается (как при перемещении из точки А в точку С). Когда траектория опускается и поднимается, преимущества более крутого и длинного спуска компенсируют эффект замедления на повышающемся участке кривой в конце пути. Если сделать модель перевернутой циклоиды и пустить по ней шар, скажем из точки А в точку В, одновременно запустив шар и по прямой линии (обозначенной на рисунке пунктиром), ведущей из точки А в точку В, эффект будет просто поразительным, даже если вы заранее знаете, какой шар станет победителем в этой гонке. По сравнению с шаром, стремительно спускающимся по циклоиде, шар на наклонной прямой как будто катится по грязной дороге. Начиная с XVIII века для демонстрации брахистохроны в университетах и музеях начали сооружать деревянные циклоиды. С их помощью можно было демонстрировать и таутохрону. Для этого достаточно было разместить по одному шару с каждой стороны перевернутой циклоиды, и, независимо от того, с какой точки начнется движение этих шаров, они столкнутся друг с другом в самой нижней точке кривой.

Траектория наискорейшего спуска

Спустя полгода Бернулли получил всего один правильный ответ на свою задачу, который дал его немецкий друг Готфрид Лейбниц. Поэтому Бернулли опубликовал в журнале Acta Eruditorum еще один призыв к ученым предложить решение поставленной задачи, отметив неспособность сделать это даже со стороны тех, кто «заявляет, будто посредством особых методов… не только постиг самые сокровенные тайны геометрии, но и необъяснимым образом расширил ее границы». Это была колкость в адрес Исаака Ньютона и его метода флюксий — нового, очень мощного математического инструмента, который обеспечивал решение таких задач, как задача о брахистохроне (мы поговорим об этом методе в одной из следующих глав). Бернулли отправил Ньютону экземпляр журнала Acta Eruditorum, чтобы тот непременно прочитал статью и получил сообщение. В то время Ньютону было больше пятидесяти лет; он уже не преподавал в Кембриджском университете, а управлял Королевским монетным двором, расположенным в Лондонском Тауэре. Ньютон прочитал письмо Бернулли по возвращенни с работы домой и, несмотря на усталость, не ложился спать до тех пор, пока в 4 часа утра не нашел решение. «Я не люблю… когда иностранцы поддразнивают меня тем, что связано с математикой», — проворчал он. Ньютон отправил свой вариант решения задачи, не назвавшись. Говорят, что, прочитав письмо Ньютона, Бернулли произнес фразу: «Ex ungue leonem» («Узнаю льва по когтям его»).