Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Этот ряд приближается к истинному значению числа e со сверхзвуковой скоростью. Всего после десяти членов ряда значения совпадают с точностью до шести десятичных знаков, что весьма неплохо практически для всех научных целей.

Почему число e так красиво выражается в виде факториалов? Как мы видели в случае со сложным процентом, оно представляет собой предел (1 + )ⁿ, когда n приближается к бесконечности. Я избавлю вас от деталей доказательства, но выражение (1 + )ⁿ можно записать в виде огромной суммы дробей с единицей в числителе и факториалом в знаменателе.

Эйлер был большим поклонником занимательной математики и с интересом изучал математические игры и головоломки. Например, когда один любитель шахмат спросил, может ли конь пересечь доску так, чтобы попасть на каждую клетку только один раз, прежде чем вернуться в исходную позицию, Эйлер отыскал способ, как это сделать, что избавило от решения подобных вопросов до настоящего времени. Внимание Эйлера привлекала также французская карточная игра jeu de rencontre — игра в совпадения (разновидность одной из моих любимых детских игр под названием Snap!).

Суть игры в совпадения состоит в том, что два игрока (А и Б) тасуют каждый свою колоду карт, а затем одновременно переворачивают первую карту в своих колодах и продолжают делать это до тех пор, пока не закончатся карты. Если в ходе переворачиваний появляются одинаковые карты, выигрывает игрок А. (И я кричу: «Snap!») Если совпадений до самого конца нет, побеждает игрок Б. Эйлера интересовала вероятность того, что победителем окажется игрок А, другими словами, что за 52 раза встретится хотя бы одно совпадение.

За долгие годы этот вопрос возникал неоднократно, хотя и в разных ситуациях. Например, представьте себе, что гардеробщик не выдает номерки на те вещи, которые люди сдают в гардероб в течение вечера. Какова вероятность того, что хотя бы один человек получит свое пальто назад? Или возьмем такой пример. Кинотеатр продает билеты с указанием мест, но затем публике разрешают занимать любое свободное место. Если зал кинотеатра заполнен, какова вероятность того, что хотя бы одно место займет человек, на билете которого указан номер этого места?

Эйлер начал с самого начала[114]. Если в игре в совпадения колода карт каждого из игроков состоит из одной карты, то вероятность совпадения будет 100 процентов. Если в колоде два карты, вероятность равна 50 процентам. Эйлер составил таблицы перестановок для игр с колодами из трех и четырех карт и только после этого вывел закономерность. Вероятность совпадения карт при n картах в колоде рассчитывается по такой формуле:

Но посмотрите внимательно: эта закономерность напоминает представленный выше ряд для числа e.

Я опущу детали доказательства, но этот ряд действительно приближается к (1 – ), или около 0,63. Сумма ряда в точности равна (1 – ) только в случае, если n стремится к бесконечности, но приближение очень хорошее уже после нескольких членов ряда. Когда n = 52, то есть количеству карт в колоде, сумма этого ряда равна (1 – ) с точностью до 70 десятичных знаков.

Следовательно, в этой игре вероятность совпадения составляет около 63 процентов. Другими словами, вероятность того, что совпадение будет, почти в два раза больше того, что его не будет. Точно так же вероятность того, что хотя бы один гость получит назад свое пальто, а посетитель кинотеатра сядет на правильное место, тоже составляет 63 процента. Интересно, что количество карт в колоде, гостей, сдающих пальто в гардероб, или мест в зале кинотеатра практически не влияет на вероятность хотя бы одного совпадения при условии, что карт, гостей или мест больше шести или семи. Каждый раз, когда вы увеличиваете число карт, гостей или мест, вы прибавляете еще один член в представленный выше ряд, определяющий возможность совпадения. Например, восьмая карта дает восьмой член ряда — 1/8!, или 0,0000248, что меняет вероятность менее чем на четверть сотой одного процента. Девятая карта еще меньше влият на значение вероятности. То есть получается, что вероятность совпадения почти не меняется, играете ли вы полной колодой карт или картами одной масти. Точно так же не имеет значения, сколько гостей сдадут свои пальто в гардероб, десяток или сотня, или о зале какого кинотеатра идет речь — о местном мультиплексе или о кинотеатре Empire на Лестер-сквер.

Сделанное Эйлером открытие относительно присутствия числа e в математике карточных игр — один из первых примеров появления этой константы в области, не имеющей очевидной связи с экспоненциальным ростом. Впоследствии эта константа появится и в не менее конкурентной сфере — в математике выбора жены.