Когда ты была рыбкой, головастиком - я...

Подобное доказательство нельзя вывести для доски 10-го порядка, расположив в ее углу квадрат 5-го порядка, поскольку его не всегда удается покрыть (см. рис. 4). Однако с этой сложностью легко справиться, применив несколько иной подход. Разместим в левом верхнем углу квадрат 8-го порядка — его, как нам известно, можно покрыть. Остается угловая область, имеющая ширину 2 и занимающая низ и правую часть большого квадрата (см. рис. 7). Путем поворотов и отражений любую недостающую клетку в квадрате 8-го порядка удается расположить в любом месте этой доски. Таким же образом получаем доказательство для порядков 20, 40, 80 и т. д. Сходное доказательство существует для доски 11-го порядка: квадрат 7-го порядка располагаем в ее углу, и тогда угловая область, занимающая нижнюю и боковую часть большого квадрата, будет иметь ширину 4. Индукция позволяет вывести доказательства и для порядков 22, 44, 88… Понятно, что эта методика дает нам бесконечное количество покрываемых досок, длина сторон которых удваивается (это своего рода удваивающийся ряд). Просто располагайте в левом верхнем углу любой доски заведомо покрываемый квадрат со стороной, которая меньше стороны исходной доски либо равна ей. Если оставшуюся снизу и сбоку область большой доски вам удастся покрыть — значит, и большая доска покрываема.

_{Рис. 7. Доску 19-го порядка можно покрыть.}

Обычно труднее всего покрыть доски, у которых длина сторон — простое число. Проблему доски 17-го порядка удается решить, поместив в ее угол квадрат со стороной 13 и оставив внизу и сбоку область шириной 4. Проблему доски 19-го порядка — поместив в ее угол квадрат 14-го порядка (доказательство его покрываемости основано, в свою очередь, на таком же свойстве квадрата 7-го порядка) и получив угловую область шириной 5 (см. рис. 8).

_{Рис. 8. Доску 19-го порядка можно покрыть.}

ПОЛНЫЙ И УНИВЕРСАЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ

Занимаясь разбиением этих фигур, я подобрался (но пока недостаточно близко) к тому, чтобы вывести индуктивное доказательство того, что все дефицитные квадраты покрываемы, за исключением квадрата 5-го порядка. Это доказательство в конце концов получили И. Пинг Чу и Ричард Джонсонбау [77]. Чу и Джонсонбау позаботились не только обо всех дефицитных квадратах, но и обо всех дефицитных прямоугольниках! Их индуктивное доказательство — слишком специальное, чтобы его здесь приводить. Коротко говоря, они продемонстрировали покрываемость для всех прямоугольников mxn (включая и квадраты — случай, когда m=n) с числом клеток, кратным 3 после удаления одного поля. Подобные доски покрываемы, если выполняются все четыре необходимых и достаточных условия:

1) m >= 2,

2) n >= m,

3) если m=2, n должно тоже равняться 2,

4) m /= 5.

Прямоугольник 4x7 — самый маленький дефицитный прямоугольник (не квадрат), который можно покрыть с помощью L-тримино. Вот еще одно упражнение: много ли у вас уйдет времени на то, чтобы покрыть такую фигуру с помощью тримино и двух элементов 2x3, если недостающая клетка у этой фигуры располагается в углу?

Кристофер Йенсен показал в своей неопубликованной статье, что если в углу любой доски убрать двеклетки, как показано на рис. 9. получившуюся доску нельзя будет покрыть с помощью тримино. Однако, если исключитьприведенные пять случаев, доску с длинами сторон 3m–1 и 3n+1 и с любыми двумя недостающими клетками окажется возможным покрыть при следующем необходимом и достаточном условии: либо если n=1, либо если m >= 3 и n >= 3.

_{Рис. 9. Невозможность покрытия при отсутствии двухклеток в углу}

Заключение

Кейт Джонс, основавшая и возглавляющая фирму «Kadon Enterprises», которая выпускает и продает разные симпатичные механические головоломки и другие забавные математические предметы, выпустила на рынок игру под названием «V-21» [78]. Буква V здесь — от «V-тримино», а 21 — число тримино в наборе, где кроме ярко раскрашенных фишек имеется также доска 8-го порядка, на которую их можно класть. Первое задание — положить мономино (квадрат 1-го порядка) в произвольное место доски, а затем покрыть оставшуюся площадь с помощью тримино (т. е. решить задачу для доски 8-го порядка). К игре прилагается сорокастраничное руководство. В нем напечатана короткая статья Нортона Старра «Дефицитная шахматная доска» и приводятся изображения прямоугольных досок и задачи к ним.

Завершим наш рассказ красивейшим симметричным покрытием стандартной шахматной доски (рис. 10).

_{Рис. 10. Покрытие квадрата 8-го порядка без использования элементов 2x3 и с пятью «самовоспроизводящимися» элементами rep-tile}

А вот и ответ на задачу, которую я предложил вам на с. 197:

Глава 12 Ay, мистер Херш, вы «здесь»?