Когда физики в цене

…Перед гением Архимеда преклоняемся не только мы, далекие потомки. Ему платили дань уважения современники. Он достиг таких высот в механике и математике, что, несмотря на низкое происхождение, на зависть коллег, его достижения, невероятные, необъяснимые уровнем знаний того времени, внушали почтение и даже страх. Он ошеломил современников своими удивительными находками в геометрии. Это Архимед нашел, что поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга; поверхность шарового сегмента равна площади круга, радиус которого — прямая, соединяющая вершину сегмента с одной из точек окружности круга, служащего основанием сегмента, цилиндр, основание которого равно большому кругу шара, а высота диаметру шара, сам по объему в полтора раза больше этого шара, а его поверхность (включая площади верхнего и нижнего оснований) в полтора раза больше поверхности шара.

«Разумеется, — пишет Архимед своему коллеге Досифею, — эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам; ни один из них не заметил даже, что эти тела соизмеримы между собой… Каждый, кто понимает в этом деле, может проверить правильность моих открытий».

Но, кто бы ни пробовал это проверить, не достигал результата. А свой метод решения Архимед не открывал — держал его в тайне.

Архимед поддерживал переписку со многими учеными и, по обычаю того времени, посылал им для доказательства свои новые теоремы. Тогда, как и много позже, в XVII–XVIII веках, ученые знакомили друг друга с условиями доказанных ими теорем, прежде чем опубликовать доказательства для общего сведения. Это считалось данью уважения к равному или старшему, и лишь молодым математикам было принято посылать новые теоремы вместе с доказательством. Свои теоремы Архимед отправлял Эратосфену, Конону, этим наиболее серьезным ученым того времени, но, судя по различным источникам, ни Конон, ни Эратосфен не смогли повторить открытий Архимеда, не сумели справиться с теми задачами, которые решил он.

«Я посылал тебе мои открытия, чтобы ты сам попытался найти их доказательства, — писал он Эратосфену. — Ты этого не сделал. Я, конечно, могу теперь без дальнейших рассуждений прислать мои решения, но от этого большой пользы не будет. Ты серьезный ученый и философ и хороший математик, поэтому не обижайся за правду».

Обижался ли Эратосфен? Попробуйте представить себя на его месте…

Наверно, математики жестоко завидовали Архимеду и удивлялись его все новым и новым потрясающим, необъяснимым победам.

Вот что писал Плутарх:

«Во всей геометрии нельзя найти более трудных и серьезных задач, которые были бы притом изложены в более простой и наглядной форме, чем это сделано в сочинениях Архимеда».

У Плутарха даже не возникает вопроса о том, как находить сами решения. Это область профессиональных математиков, сфера гения, в которую даже наиболее образованный эллин не отваживался вступить.

Вопреки мнению Плутарха, для профессионального математика труды Архимеда вовсе не представлялись столь ясными. Наоборот.

Сложность задач, рассматриваемых Архимедом, казалась непреодолимой. Даже зная решение, трудно доказать его справедливость — так сложны и хитроумны необходимые построения и силлогизмы. Архимед зачастую опускал часть выкладок, которые считал второстепенными. Опираясь на свои или чужие результаты, он обычно не дает точных ссылок, указывая лишь: «Как это было доказано в Началах» (т. е. у Евклида) или: «Как это было доказано ранее» (то есть им самим), полагая, что читатель досконально знает как «Начала», так и его собственные работы, и обладает достаточной квалификацией, чтобы отыскать в них нужное.

В то время математики не баловали коллег ясностью изложения. Математический обычай тех времен заключался в том, что автор, открывший, скажем, истину что 2X2 = 4, вовсе не обязан был доказывать это равенство. Он должен был доказать, что 2X2 не может быть ни больше, ни меньше четырех. Если он сумеет убедить слушателей или читателей, что иное решение ведет к абсурду, он выполнил свое назначение.

Приведение к абсурду — таков традиционный метод математиков в течение многих столетий.

И Архимед, боясь нарушить эту традицию и прослыть вольнодумцем, поступал, как все: скрывал ход своих решений, а доказательства оформлял в стиле приведения к абсурду.

Лукавство или мужество?

И все же труды Архимеда, выполненные в строгом соответствии с господствующим стилем изложения, яснее и понятнее математических трудов многих других авторов.

Знакомство с математическими трудами Архимеда показывает, что даже в пределах канонических доказательств он стремится дать в руки читателя не только формальное доказательство, но и конструктивный метод решения. Это очень не просто.