Кибернетика или управление и связь в животном и машине

Однако работа Лебега была непосредственно связана не с требованиями статистической механики, а с другой, как будто весьма далекой от нее, теорией — теорией тригонометрических рядов. Последняя восходит к физике XVIII в., изучавшей волны и колебания, и к спорному тогда вопросу об общности возможных движений линейной системы, полученных сложением ее простых колебаний, — колебаний, при которых течение времени лишь умножает отклонения системы от равновесия на положительный или отрицательный множитель, зависящий только от времени, но не от положения. Таким образом, одна функция выражается в виде суммы ряда. Коэффициенты этих рядов выражаются как средние произведения представляемой функции на данную весовую функцию. Вся теория основана на соотношениях между средним значением ряда и средними значениями отдельных членов. Заметим, что среднее значение величины, равной единице на интервале от нуля до А и нулю на интервале от А до 1, равно А и что его можно рассматривать как вероятность для случайной точки находиться в интервале от 0 до А, если известно, что она находится между 0 и 1. Иными словами, теория, необходимая для определения среднего значения ряда, очень близка к той, которая необходима для [c.102] адекватной трактовки вероятностей, выводимых из бесконечной последовательности случаев. Вот почему Лебег, решая свою задачу, решил также задачу Гиббса.

Распределения, исследуемые Гиббсом, сами допускают динамическую интерпретацию. Если мы рассматриваем консервативную динамическую систему весьма общего вида с N степенями свободы, то координаты положений и скоростей такой системы можно привести к особой системе 2N координат, из которых N называются обобщенными координатами положения и N — обобщенными импульсами. Эти координаты определяют 2N-мерное пространство[126] и в нем 2N-мерный объем. Возьмем произвольную область этого пространства и заставим точки перемещаться с течением времени. Каждый набор 2N координат перейдет тогда в новый набор, зависящий от истекшего времени, но непрерывное изменение границ области не изменит ее 2N-мерного объема. В общем случае для множеств, не столь простых, понятие объема порождает систему меры лебегова типа. В этой системе меры и в консервативных динамических системах, преобразуемых так, что мера сохраняется постоянной, сохраняет постоянство и другая скалярная величина — энергия. Если все тела системы действуют только друг на друга и в системе нет сил, связанных с фиксированным положениями и фиксированными направлениями в пространстве, то остаются постоянными еще два выражения, оба векторные: количество движения и момент количества движения системы в целом. Их нетрудно исключить и тем самым заменить данную систему системой с меньшим числом степеней свободы.

В сугубо частных системах могут быть и другие величины, не определяемые энергией, количеством движения и моментом количества движения, также не меняющиеся с эволюцией системы. Известно, однако, что системы с другими инвариантными величинами, зависящими от начальных координат и импульсов динамической системы и достаточно регулярными, чтобы [c.103] допускать интегрирование на основе меры Лебега, в действительности очень редки, в некотором вполне точном смысле[127]. В системах, не имеющих других инвариантных величин, можно фиксировать координаты, соответствующие энергии, количеству движения и общему моменту количества движения, и тогда в пространстве остальных координат мера, определяемая координатами положений и импульсов, определит сама некоторую подмеру, подобно тому, как мера в трехмерном пространстве определит площадь на двумерной поверхности для заданного семейства двумерных поверхностей. Например, пусть мы имеем семейство концентрических сфер; объем между двумя сближаемыми концентрическими сферами (если его нормировать, приняв за единицу полный объем области между двумя сферами) в пределе даст меру площади на поверхности сферы.

Применим теперь эту новую меру к одной из областей фазового пространства, для которой определена энергия, общее количество движения и общий момент количества движения, и предположим, что в системе нет других измеримых инвариантных величин. Пусть полная мера этой ограниченной области постоянна; изменяя масштаб, ее можно приравнять единице. Поскольку наша мера была получена из меры, инвариантной во времени, способом, инвариантным во времени, она и сама инвариантна. Мы назовем эту меру фазовой мерой, а средние по этой мере — фазовыми средними.

Но всякая величина, изменяющаяся во времени, может иметь также среднее значение по времени — временное среднее. Например, если f(t) зависит от t, то временное среднее для прошлого равно

 ,          (2.01)

а временное среднее для будущего

           (2.02)

[c.104]