Кибернетика или управление и связь в животном и машине

К началу этого столетия двое ученых, один в Соединенных Штатах, другой во Франции, работали в областях, которые показались бы им совершенно не связанными, если бы один из них узнал о существовании другого. Уиллард Гиббс в Нью-Хейвене разрабатывал свой новый подход к статистической механике. Анри Лебег в Париже соперничал славой со своим учителем Эмилем Борелем, создав новую, более мощную теорию интегрирования, которая должна была использоваться при изучении тригонометрических рядов. Эти два исследователя походили друг на друга тем, что оба были кабинетными, а не лабораторными работниками, но они подходили к науке с диаметрально противоположных позиций.

Гиббс, хотя и был математиком, всегда считал математику наукой, подчиненной физике. Лебег был чистейший аналитик, выдающийся представитель современных, крайне суровых требований к математической строгости, и его работы, насколько мне известно, не содержат ни одного примера задач или методов, вытекающих непосредственно из физики. Тем не менее работы этих ученых составляют единое целое, и на вопросы, которые ставит Гиббс, мы находим ответ не в его собственных работах, а в работах Лебега.

Главная мысль Гиббса такова. В ньютоновой динамике в ее первоначальном виде рассматривается индивидуальная система с заданными начальными скоростями и импульсами[125], подвергающаяся изменениям под [c.100] действием некоторой системы сил согласно законам Ньютона, которые устанавливают связь между силой и ускорением. Однако в громадном большинстве практических случаев нам известны далеко не все начальные скорости и импульсы. Если принять некоторое начальное распределение не вполне известных положений и импульсов системы, то тем самым будет определено в строго ньютоновском смысле распределение положений и импульсов в любой момент будущего. Тогда можно высказать ряд предложений об этих распределениях, и часть из них — в форме утверждений, что система будет иметь некоторые характеристики с вероятностью 1 и некоторые другие — с вероятностью 0.

Вероятности, равные единице и нулю, суть понятия, включающие полную достоверность и полную невозможность, но их значение гораздо шире. Если я стреляю по цели нулей точечного размера, то вероятность моего попадания в определенную точку цели равна нулю, хотя не исключена возможность, что я попаду в нее; и, действительно, в каждом отдельном случае я обязательно попаду в некоторую точку, что является событием нулевой вероятности. Таким образом, событие вероятности 1, а именно попадание в какую-либо точку, может состоять из совокупности событий, каждое из которых имеет вероятность 0.

Тем не менее в гиббсовой статистической механике применяется, хотя и неявно (Гиббс нигде не отдает себе в этом ясного отчета), разложение сложного события в бесконечную последовательность частных событий — первого, второго, третьего и т. д., — каждое из которых имеет известную вероятность; вероятность этого более широкого события находится затем как сумма вероятностей частных событий, образующих бесконечную последовательность. Таким образом, вероятности нельзя складывать во всех мыслимых случаях для получения полной вероятности, ибо сумма любого числа нулей равна нулю; но их можно складывать, коль скоро существует первый, второй, третий член и т. д., образующие последовательность событий, в которой каждый член имеет определенное место, задаваемое положительным целым числом.

Чтобы провести различие между этими двумя случаями, необходимы довольно тонкие изыскания о природе [c.101] множеств событий, а Гиббс был хотя и очень сильный, но не очень тонкий математик. Может ли класс быть бесконечным и в то же время существенно отличным по мощности от другого класса, например от класса натуральных чисел? Эту задачу решил в конце прошлого столетия Георг Кантор, и ответ был «да». Если мы рассмотрим все десятичные дроби, конечные и бесконечные, лежащие между нулем и единицей, то, как известно, их нельзя расположить в порядке «один, два, три…», хотя — удивительно — мы можем расположить так все конечные десятичные дроби. Поэтому проведение различия, требуемого в статистической механике Гиббса, не является само по себе невозможным. Услуга, оказанная Лебегом теории Гиббса, заключалась в доказательстве того, что неявные требования статистической механики относительно событий нулевой вероятности и сложения вероятностей событий действительно могут быть удовлетворены и что теория Гиббса не содержит противоречий.