Кибернетика или управление и связь в животном и машине

Задолго до выхода в свет «Кибернетики» стало ясно, что изучение нелинейных цепей (таких, какие мы находим в различных усилителях, ограничителях напряжения, выпрямителях и т. д.) не умещается в эти рамки. Тем не менее за отсутствием лучшей методики предпринимались многочисленные попытки распространить линейные понятия прежней электротехники далеко за те границы, в которых они допускали естественное представление новых элементов.

Когда около 1920 г. я пришел в МТИ, обычный способ подхода к нелинейным устройствам состоял в том, что искалось расширенное понятие импеданса, которое охватывало бы как линейные, так и нелинейные системы. В результате нелинейная электротехника пришла в состояние, подобное состоянию птолемеевой системы астрономии в последний период ее существования, когда нагромождали эпицикл на эпицикл, поправку на поправку, пока все это латаное сооружение не рухнуло под собственной тяжестью. [c.30]

Как из крушения перенапряжений птолемеевой системы возникла коперникова система с ее простым и естественным гелиоцентрическим описанием движений небесных тел, заменившим сложную и запутанную картину геоцентрической птолемеевой системы, так и для изучения нелинейных устройств и систем, электрических или механических, естественных или искусственных была необходима совершенно новая отправная точка. Я попытался нащупать новый подход в своей книге «Нелинейные задачи в теории случайных процессов»[80].

Оказывается, что с переходом к нелинейным явлениям тригонометрический анализ теряет ту ведущую роль, которая ему принадлежит в изучении линейных явлений. Это имеет четкое математическое объяснение. Процессы в электрических цепях, как и многие другие физические явления, характеризуются инвариантностью при сдвиге начала отсчета во времени. Физический опыт, начатый в полдень и достигший определенного состояния к 2 часам дня, должен достигнуть такого же состояния к 2.15, если мы начнем его в 12.15. Таким образом, физические законы говорят об инвариантах группы сдвигов во времени.

Тригонометрические функции sin nt и cos nt обнаруживают важные инвариантные свойства относительно той же группы сдвигов. Функция общего вида e^it перейдет в функцию

e^i(t+) = eⁱ e^it

того же вида при сдвиге, который получается прибавлением к t. Как следствие,

a cos n (t + ) + b sin n (t + ) = (a cos n + b sin n) cos nt + (b cos n — a sin n) sin nt =

= a₁ cos nt + b₁ sin nt.

Иными словами, семейства функций

Ае^it и A cos t + B sin t

инвариантны при сдвиге. [c.31]

Но существуют и другие семейства функции, инвариантные при сдвигах. Если рассматривать так называемое случайное блуждание, когда перемещение частицы за любой промежуток времени имеет распределение, зависящее от длительности этого промежутка и не зависящее от событий, происшедших до его начала, то ансамбль случайных блужданий также перейдет в себя при временном сдвиге.

Иными словами, инвариантность при сдвигах — это свойство тригонометрических кривых, которым обладают также другие множества функций.

В дополнение к этой инвариантности, тригонометрические функции характеризуются свойством

Ае^it + Ве^it = (А + В)е^it

благодаря которому они образуют чрезвычайное простое линейное множество. Легко заметить, что это свойство связано с линейностью, т. е. мы можем свести все колебания данной частоты к линейной комбинации двух колебаний. Именно это специфическое свойство обусловливает роль гармонического анализа при изучении линейных свойств электрических цепей. Функции

е^it

суть характеры группы переносов и дают нам линейное представление этой группы[81].

Но когда мы обращаемся к другим комбинациям функций, нежели сложение с постоянными коэффициентами, например к перемножению функций, то простые тригонометрические функции уже не обнаруживают этого элементарного группового свойства. С другой стороны, случайные функции, такие, как при случайном блуждании, обладают определенными свойствами, весьма полезными при рассмотрении их нелинейных комбинаций.

Я не хотел бы входить в подробности, математически довольно сложные и уже разобранные в моей книге «Нелинейные задачи в теории случайных процессов». Материал этой книги уже применялся не раз при рассмотрении специфических нелинейных задач, но для выполнения изложенной там программы остается еще многое сделать. Практически дело сводится к тому, что [c.32] в качестве удобного стандартного сигнала на входе выступает уже не набор тригонометрических функций, а сигнал типа броунова движения. В случае электрических цепей такая «броунова» функция физически может быть получена дробовым эффектом. Дробовой эффект есть явление нерегулярности электрических токов, возникающее вследствие того, что токи представляют собой не непрерывный поток электричества, а последовательность неделимых и одинаковых электронов. Поэтому электрические токи подвержены статистическим колебаниям, которые сами носят довольно ровный характер и могут быть усилены настолько, что составят заметный случайный шум.