Хаос и структура

Наконец, совершенно неудовлетворительно у Гильберта и понимание всего этого раздела аксиом как аксиом сочетания (Verknupfung). Если прямая определяется двумя различными точками, плоскость — тремя точками не на одной прямой, то Гильберт напрасно думает, что тут имеются в виду просто сочетания элементов (если «сочетание» не есть просто условный заголовок этого разряда аксиом). Прямая, плоскость и пространство вовсе не есть сочетание точек. Как бы мы ни «сочетали» точки, мы никогда не получим даже прямой, не говоря о всех прочих измерениях. И если бы мы захотели всерьез назвать ту категорию, под которой существуют все эти аксиомы, мы сначала 1) столкнулись бы с тем фактом, что точка везде абсолютно тождественна самой себе, в каком бы виде мы ее ни брали. Затем 2) мы увидели бы, что точки все могут быть разными (или, обывательски говоря, могут «находиться в разных местах»); они — различны. Наконец, это самотождественное различие точки 3) не может тут браться во всей своей смысловой чистоте, ибо в таком случае мы понимали бы точки не как точки, но как отвлеченные арифметические единицы и вместо прямой из двух точек мы имели бы только отвлеченную арифметическую двойку. Надо это самотождественное различие погрузить в инобытие, т. е. надо, чтобы различие стало безразличием, а самотождество стало постоянным самопротивоположением. Тогда мы получаем самопротивополагающееся безразличие, т. е. алогическое становление, а это и делает впервые возможным перейти от арифметики к геометрии, от числа к пространству, т. е. впервые дает возможность сплошным образом соединить две различающиеся точки. Пусть у нас имеются две различные точки. Это еще не значит, что у нас есть прямая, так как тут пока только чисто арифметическое, отвлеченно–смысловое самотождественное различие точек. Но вот мы представили себе, что эти две точки переходят одна в другую в порядке самопротивополагающейся (или в каждый момент все новой и новой) неразличимости, т. е. в порядке инобы–тийной структуры самотождественного различия точек. Тогда это значит, что мы от одной точки к другой проведем прямую, т. е. впервые получим самую прямую, ибо между нашими двумя точками появилась целая бездна различных точек, но все они не отличны одна от другой.

И вот этот сложнейший диалектический процесс конструирования прямой из точек Гильберт хочет перепрыгнуть одним глупым словечком «сочетание».

Общую установку для диалектического получения основных геометрических элементов читатель найдет ниже, в § 55.3, 4.

§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств.

1. Множество отличается от простого арифметического числа инобытийным гипостазированием входящих в него единиц или — в дальнейшей идее упорядоченности, что и модифицирует принцип самотождественного различия вполне своеобразно, совсем не арифметично и совсем не геометрично. В арифметическом числе все единицы и тождественны, и различны, и во множестве все элементы тождественны и различны. Но во множестве каждый элемент еще заново отличается от другого элемента; тут как бы различные единицы. И понимать это надо не в том смысле, что эти единицы только различны, а в том, что они, будучи и различными, и тождественными, одновременно положены в инобытии, так что самотождественное различие оказывается здесь положенным в инобытие (как в геометрии), хотя это инобытие (в отличие от геометрии) мыслится здесь только числовым образом. Каждая единица оказывается здесь как бы меченой, откуда подобное инобытийное гипостазирование и является зародышем идеи порядка, перво–принципом упорядочивания. Таким образом, в глубине самого понятия множества лежит нечто, указующее на то, что принципиально всякое множество может быть мыслимо как упорядоченное и даже как вполне упорядоченное.

Во множестве отдельные единицы различны; и при этом говорится, что не важно, чем они различны: значит, тут играет роль сама категория различия. Но единицы эти также и тождественны между собою: значит, имеется в виду самотождественное различие. Наконец, поскольку единицы самотождественно различны и во всяком арифметическом числе, приходится искать спецификум еще в другом. А это и есть инобытийное полагание самотождественного различия, но без геометрической простран–ственности этого инобытия.