Хаос и структура

Можно дать еще другое определение бесконечно–малого, хотя это определение, конечно, в сущности своей может быть только тождественным с первым. Именно, бесконечно–малое определяют еще так. Бесконечно–малое есть такая переменная величина, которая может стать меньше любой заданной величины. Пожалуй, это определение несколько ярче подчеркивает момент процессуальное, играющий такую огромную роль во всем понятии бесконечно–малого. Тут важны именно слова «может стать меньше любой заданной величины». В них выражена стихия становления, без которой бесконечно–малое не существует. В предыдущем определении момент становления и процессуальности выражен слабее, но зато лучше выражена идея исчерпания неисчерпания, идея, так сказать, «объятия необъятного». Этот момент тоже основной в учении о бесконечно–малом. И таким образом, оба определения, имея в виду один и тот же предмет, подчеркивают в нем одинаково важные, хотя и различные, стороны, причем каждая из этих сторон необходимо предполагает другую, так что в конце концов безразлично, какую сторону выдвигать и на каком определении останавливаться.

Итак, бесконечно–малое есть диалектический синтез числа в его непосредственном (арифметическом) бытии и числа в его опосредствованном (инобытийном в отношении к арифметическому) бытии. Бесконечно–малое есть прежде всего некая чистая величина, и в этом сказывается участие здесь арифметического элемента. С другой стороны, это не просто арифметическая величина со всей ее статической структурой, но такая величина, которая вобрала в себя и воплотила в себе эти понятия, инобытийные в сравнении с арифметической статической раздельностью, — непрерывность, прерывность, предел. Поэтому можно дать такую диалектическую формулу понятия бесконечно–малого.

Бесконечно–малое есть тождество (синтез) непосредственно–арифметической значимости числа и опосредствованно–инобытийно–го, внутренно–внешнего становления. Этот момент внутренно–внеш–него становления важен потому, что, как мы помним, бесконечность уже сама по себе, независимо от ее специального — инфинитези–мального, или аналитического, типа есть синтез целого и дробного, т. е. синтез внутренних особенностей строения числа, в то время как природа непрерывности, прерывности и предела возможна у нас на почве именно внешней ориентированности числа на окружающем его фоне.

Предложенная формула, конечно, совершенно тождественна с двумя указанными, чисто математическими определениями. Но это есть формула философская, логическая или, точнее, диалектическая, т. е. основанная на анализе и антиномико–синтетической структуре понятий, в то время как те два определения суть чисто математические определения, т. е. основанные на формально–числовом, формально–счислительном объединении счетных величин. В диалектике — понятия и категории, в математике — числа и величины. В диалектике—антиномико–синтетическая связь понятий и категорий, в математике—счислите л ьно–счетная связь чисел и величин.

6. Сущность функции. Есть, однако, еще категория, столь же глубоко определяющая стиль науки о бесконечно–малом, как и само понятие бесконечно–малого. Это понятие функции. Школьные математики и это понятие угробили до той степени, когда оно превращается в сухую и чисто вычислительную категорию, имеющую только внешне–прикладное значение. Это понятие гораздо богаче школьного его употребления, в особенности если иметь в виду его социально–исторические корни.

Что такое функция и когда это понятие играет наибольшую роль в математике и философии?