Хаос и структура

Очевидно, раз инфинитезимальная точка зрения базируется на бесконечно–малом, из этого бесконечно–малого мы и должны тут исходить. При исследовании предела в инфинитезимальном смысле мы должны исходить из бесконечного и непрерывного становления, и больше не из чего другого. Мы должны тут оперировать становлением, не внося в него ровно никакого разделения или различения. А какие это операции, это совершенно не касается самого становления. Эти операции могут быть и конечными, прерывными.

Попробуем провести здесь то же разделение, которое мы проводим и в отношении синтеза конечного и бесконечного вообще. А именно, наше сплошное и непрерывное числовое становление мы можем понимать конечно, бесконечно и в виде непрерывного процесса. Или, употребляя ходовые термины диалектической логики, мы можем это становление понимать как бытие (т. е. акт самополага–ния, самоутверждения), как становление и как ставшее (как «наличное бытие», как исчерпавшее всю сферу становления и потому «остановившееся»). Ниже мы увидим, что числовое становление как акт бытия есть дифференциал; числовое становление как именно становление (т. е. как положенное становление) есть непрерывность бесконечно–малого и числовое становление как исчерпавшее себя целиком и потому остановившееся, т. е. числовое становление как ставшее, есть интеграл. Однако сейчас мы еще далеки от исследования этих сложных категорий и пока интересуемся только пределом. Но интеграл, как мы увидим в своем месте, и есть некоторого рода предел (какой именно—сейчас не важно). Другими словами, предел в инфинитезимальном смысле есть не что иное, как числовое ставшее, а ставшее предполагает и то, что именно становилось, и само становление. Поэтому синтез конечного и бесконечного, находимый нами в пределе, содержит в себе два пласта: во–первых, это есть синтез по типу становления (тут наш предел отличается и от арифметического, и от трансфинитного); а во–вторых, в сфере этого становления синтез конечного и бесконечного произведен по типу ставшего. И следовательно, предел в инфинитезимальном смысле есть такой синтез конечного и бесконечного, который дан как непрерывное становление, но целиком исчерпавшее себя или как само непрерывное становление, но—в простом тождестве с собою, без своего рассыпания и размыва на отдельные моменты. Поэтому предел здесь как бы вобрал в себя всю бесконечность непрерывных приближений к себе и держит их в одной неделимой точке.

Вот почему предел есть обязательно закон для стремления к нему приближенных величин, метод этого движения, или, попросту говоря, направление этого движения, общее направление его, то, что содержит в себе всю эту бесконечность индивидуальных приближений. Это потому, что он — ставшее; и это потому, что он — становление; и это потому, что он—устойчивое ставшее непрерывного и бесконечного становления, становление как целое. Невозможно себе и представить, чем оказалось бы общее цельное, родовое без этого учения о пределе. Сама категория закономерности, или закона, повисла бы в воздухе, если бы мы не обладали категорией предела. Только при полном прекращении всякого движения в материи, всякого ее становления можно было бы не пользоваться категорией предела. Но тогда во что же превратилась бы всякая общность, всякая цельность? Разве она не превратилась бы в механическую сумму, во внешнее насилие над абсолютно враждебными друг в отношении друга телами, из которых каждое отвергало бы и исключало всякое другое и уж тем более всю совокупность этих других? Вот почему и немыслима современная математика без теории пределов. Как же в таком случае мы можем строить логику без теории пределов, если логика есть только «итог опыта наук» (Ленин)?

5. ЛЕНИН О ПРЕДЕЛЕ, ОБ ОБЩЕМ И О ЗАКОНЕ

1. Задержимся еще на некоторое время на этом вопросе, чтобы больше привыкнуть к этой теории мышления с точки зрения учения о пределах. Дурные привычки неподвижной формальной логики, оперирующей с понятиями в виде каких–то инертных глыб или булыжников, держат логику на ступени колоссальной отсталости от науки, почему и указание некоторых трафаретных фактов из науки будет здесь совершенно нелишним. Понимает ли наука понятие как предел некоей последовательности или как закон некоего ряда, некоторой последовательности отдельных чувственных элементов? Конечно, да. Для этого даже нет необходимости забираться в математический анализ, а достаточно простой арифметики (только арифметики, разумеется, уже не конечных величин), достаточно элементарной механики или физики. Попробуем укрепить свое логическое понимание мышления на этих простейших примерах. Общее для нас не есть что–нибудь целиком оторванное от частного и индивидуального. Оно есть закон для него и, значит, охватывает всех его представителей, имеющих отношение к этому общему. Укрепиться на таком понимании общего совершенно необходимо — тогда и метод бесконечно–малых станет совершенно ясным и непререкаемым для логики.