Хаос и структура

В чем идея таких операций, «понятных» как будто бы и без всяких разъяснений, но тем не менее загадочных, несмотря на свою общеупотребительность? Стоит только поглубже вдуматься в эти математические суждения, чтобы уловить все своеобразие понятия бесконечности, ничего не имеющее общего с обычным представлением о ней как о беспредельном переходе в неизвестную даль. С первого взгляда приведенные формулы ничего особенного в себе не содержат, хотя математикам приходится буквально притворяться, что туг все благополучно с точки зрения «формальной логики». Все эти равенства предполагают, что бесконечность есть и часть себя самой, и целое в отношении себя самой. Так, в первом равенстве частное, результат деления, оказывается равным делимому, так что уже и младенцу должно быть понятно, что в бесконечности часть вполне равна целому. То же и в других формулах. Только не надо забывать, что везде в этих равенствах не только бесконечность является частью и целым в отношении себя самой (как это само собой видно и без всякой диалектики), но А, т. е. каждая отдельная часть, [тоже] является и частью, и всем целым (целым — поскольку растворяется в бесконечности и отождествляется с нею).

4. а) Однако можно и в этих равенствах все еще ухитряться выскользнуть из рамок диалектики и понимать бесконечность просто как пустое нагромождение безграничного количества единиц. Эти ухищрения уже совсем невозможны в отношении следующих равенств, и в особенности первого из них:

I = A

A =

= [159]

b) Первое из этих равенств, где А является любым конечным числом, есть пример на т. н. неопределенные формы, потому что об [А ] неизвестно, что это за число (оно может быть любым). Спрашивается: если бесконечность есть непрестанное нагромождение чисел одного над другим, то почему возможно первое равенство? По самому смыслу возведения в степень мы имеем, например,

2⁴ = 2·2·2·2.

Следовательно, и единица в бесконечной степени должна была бы равняться

1 1·1·1·1…

причем этих единиц должно было бы быть бесконечное количество. Другими словами, тогда было бы правильно, что

1°° = 1.

Но из математики мы знаем, что единица в бесконечной степени равняется не единице, а любому конечному числу. Ясно, стало быть, что тут имеется в виду совсем не то вульгарное представление о бесконечности, которое мы отрицали, а какое–то более сложное. В чем оно заключается?

Если бесконечное помножение единицы на саму себя приводит к какому–нибудь определенному конечному числу, то это может быть только в том случае, если в употребляемой здесь бесконечности обязательно содержатся два принципа — принцип бесконечного растягивания процесса умножения и принцип определенной конечности. Бесконечность мыслится здесь как 1) алогическое становление (алогичность ясна уже из отсутствия предела для количества умножений) и как 2) конечная оформ–ленность этого становления. Стоит исключить хотя бы один из этих моментов, как вышеупомянутое равенство I = А становится совершенно немыслимым. Отнесемся к такому равенству совершенно непредубежденно и попробуем сказать, что оно значит. Всякому ясно, что здесь, во–первых, мы умножаем единицу на единицу бесконечное число раз, а, во–вторых, в результате этого умножения получается увеличение единицы до определенного числа. Результат этот получается не от нашего сознательного намерения, но сам собой, силой одного только бесконечного процесса умножения единицы на самое себя. Значит, бесконечность здесь не есть унылый и монотонный ряд единиц, но некий путь, имеющий свой профиль, свою физиономию, являющийся как бы некоей кривой линией, и именно замкнутой кривой линией. Этот бесконечный путь закругляется в определенную конечную величину, и потому–то и появляется определенное конечное число А. (Заметим, что об определенном конечном числе везде тут надо говорить невзирая на то, что тут перед нами т. н. неопределенная форма, ибо, как известно, дифференциальное исчисление дает весьма простые способы раскрытия этой неопределенности.) Силою самого этого бесконечного процесса умножения единицы на единицу создается какое–нибудь конечное число (напр., 5 или 6), потому что сама бесконечность содержит в себе как бы кривизну, мешающую ей быть простой неведомой нагроможденностью, [о] которой только и можно было бы сказать, что она необозрима, и больше ничего. Не внося этих моментов в понятие бесконечности, я не знаю, как можно было бы понять равенство 1°° = Л.