Хаос и структура

V. ПЕРЕХОД К СПЕЦИАЛbНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЛА

§ 79. Перевод математики на язык логики.

1. Все рассуждения о числе, которые мы имели до сих пор, относятся к общей теории числа. Тут не было никаких рассуждений, выходящих за пределы раскрытия самого понятия числа, включая основанную на этом понятии элементарно логическую систему. Вскрыть число как таковое, число само по себе, показать его внутреннюю сущность и значение — вот была цель всех предыдущих построений. Правда, в дедукции аксиом и учении о функции мы уже вступили в чисто математическую область. Но эта область трактуется в аксиоматике тоже очень обще, хотя и конкретнее, чем просто в области· чистой категории числа. Еще раньше, в дедукции конститутивных моментов числа, само число трактовалось как общематематическая категория. Число тут уже математическая, но все еще обм/ематематическая категория; и иной она, конечно, и не может быть на первых порах, ибо все диалектическое развертывание числа может двигаться только от самого общего и отвлеченного к более частному и конкретному.

2. Этим общим учением о числе задача философского обоснования математики не только не исчерпывается, но только еще начинается. Хотя большинство философских учений о числе и ограничивается только этим, т. е. раскрытием понятия числа, — все же в настоящее время вполне возможно считать диалектику настолько зрелой и конкретизированной дисциплиной, что она вполне может (и даже обязана) войти в детали числовых конструкций, не ограничиваясь общими рассуждениями только о самом понятии числа.

3. Разумеется, и здесь единственным методом философского анализа остается все та же диалектика, какие бы детали математической науки нас ни интересовали. Перед нами открывается труднообозримая область математических наук с совершенно оригинальными и подчас очень нелегкими проблемами, которые, однако, чтобы понять, необходимо так или иначе перевести на язык логики. Нас не должна интересовать чисто математическая сторона математики. Те операции, равно как и вся техника «доказательств», должны нас меньше всего интересовать. То, что интересует математику, нас не может интересовать, поскольку мы хотим быть не математиками, но философами. И то, что понятно с математической точки зрения, часто является полным туманом с точки зрения философии. Так, напр., понятие интеграла или производной можно вскрыть математически всего на одной–двух страницах. Однако философски понять, т. е. прежде всего логически осмыслить, эти понятия очень и очень нелегко; и если начать все тут объяснять, то не хватит для этого и десятков страниц, не говоря уже об одной–двух. Итак, нам предстоит дать философский диалектический анализ основных понятий и методов математики, отказываясь от той технической и формально–логической их понятности, которую преследуют все обычные курсы математики.

4. Но что значит в этом смысле понять математическое утверждение? Понять тут — значит перевести данное утверждение с языка математики на язык логики (или обратно). Это значит исследовать, какая идея, какой логический смысл заложен в той или другой математической теореме, формуле и т. д., если принять во внимание метод построения этой теоремы или этой формулы. Числа ведь, как мы знаем, сами но себе пусты, не имеют никакого качественного содержания, или наполнения. Однако, если разобрать их логический состав в статике или рассмотреть то, как эти числа в данном случае скомбинированы и каким методом сконструировано их взаимоотношение в динамике изучаемой взаимосвязи, мы почти всегда можем определить ту идею, которую воплощает на себя данная формула, тот внутренний смысловой замысел, которому подчинена данная числовая конструкция. Математика очень часто оказывается потухшей философией или даже мистикой; и нужно только уметь перевести эти содержательные и внутренно–наполненные учения на формальный и внутренно–равнодушный язык логики.