Хаос и структура

с) То же самое мы можем сказать о точках в геометрии, об элементах в теории множеств и модальном отношении в теории вероятностей. Везде тут перед нами одна и та же максимально допустимая сложность— это система систем преобразований первоначального элемента. Если мы говорим о системе, значит, дается некоторый закономерный переход от первоначального элемента ко всякому другому. И если мы говорим о системе систем, то, значит, дается закономерное строение всего результата, полученного из единицы, точки, элемента и вероятности, и притом независимо от количества и последовательности видов систематизирования. При сохранении этих условий мы получаем допустимую максимальную сложность, до которой может доходить аксиоматика. Единица, точка и пр. — непосредственно данная и очевидная простота. Такая же непосредственно данная и очевидная простота должна сохраняться и в любом комбинировании этих единиц и точек. Пусть мы, напр., имеем то, что называется в теории чисел модулем или в высшей арифметике и алгебре числовым кольцом или полем. Какую бы структуру это кольцо, или поле, ни имело, мы, хотя, быть может, по ограниченности памяти и внимания и не сумели обозреть его целиком, все же принципиально можем увидеть и ощупать любой элемент, входящий сюда. Поэтому кольцо, или поле, какая бы сложность здесь ни была, принципиально сохраняет в себе непосредственную простоту и очевидность, которую легко реализовать в любом пункте системы. Это и значит, что здесь у нас допустимая степень усложнения первоначального элемента.

Итак: аксиоматика движется от той абсолютной простоты, которая есть в простом акте полагания (единица, точка, элемент и событие), до системы систем этих полаганий. Можно применить сюда термин, много раз употреблявшийся у нас в предыдущем, беря его в расширенном значении, а именно, понимая его исключительно в смысле нашей выразительной формы. Это понятие метризации. Пусть у нас будет метризованная система единиц (чисел), — напр., метризованное поле; пусть будет метризованное пространство, метризованное множество, метризованная вероятность. Это предел, дальше которого мы уже покидаем самое учение о единицах, точках и т. д. и переходим к тому, что хотя его и предполагает, но является уже совсем иным.

d) В этом рассуждении мы не воспользовались диалектическими схемами. И многие думают, что так оно и проще, и яснее. Однако философу ясно совсем не то, что ясно обыденному сознанию. Указанное только что начало и конец аксиоматики необходимо зафиксировать диалектически. Этого делать здесь не следует после стольких разъяснений в предыдущем изложении. Но в виде кратчайшего резюме можно сказать, что начало этого пути — акт полагания, внутри не дифференцированный, т. е. чистое полагание без категории различия внутри себя, а значит, и без всяких других категорий, конец же этого пути — акт полагания, внутри расчлененный и вовне явившийся как таковой. Сначала это просто акт полагания, в котором не положена еще пока ни одна логическая категория, а все категории, необходимые для его мыслимости, находятся вне его, мыслимы кем–то другим. В конце же это такой акт полагания, в котором положены и все категории, необходимые для его мыслимости, так что он предстал здесь вместо изначального безразличия, как определенная внутренне–внешняя структура.

Таковы эти начало и конец пути. И других начал и концов невозможно и мыслить. Везде мы находимся здесь между абсолютной простотой и ясно созревшей структурой; при этом простота — там, где нет различий, а структура — там, где эти различия есть и где, кроме того, есть, хотя бы принципиально, различие этих различий, т. е. качественное разнообразие их закономерности. Это так везде, так и в аксиоматике.

4. а) Чем же теперь заполнен этот аксиоматический путь? Его тоже можно было бы сначала описать чисто фактически, не вникая во всю сложность диалектических связей. Однако господствующие здесь предрассудки так велики, что никакое простое описание без всего потребного здесь логического аппарата никем не примется здесь на веру. Можно было бы, напр., исходить из чисто геометрической аналогии. Всякому ясно, что если вместо одной точки мы возьмем две различных точки, то тем самым мы получим какую–то линию, и прежде всего прямую, и даже определенный ее отрезок. Всякому ясно, что если вместо двух точек взять три различные точки не на одной прямой, то мы получим плоскость. Далее мы также получим тело (в связи с тремя измерениями) и разные структуры телесности (в связи с большим числом измерений). Однако не всякому ясно, что перейти от точки к прямой — это значит затратить[106] категорию самотождественного различия, и если невозможно отрицать, что для прямой необходимы по крайней мере две различных точки, то большинство, конечно, не поймет, как это они должны отождествляться, хотя и абсолютно очевидно[107], что между концами отрезка нет ровно никакого перерыва.