Хаос и структура

b) Континуум немыслим и без инфинитезимального момента. Это значило бы, что он мыслим вне процесса становления, а тут мы пришли бы к его распадению на дискретное множество. Каждая «точка» континуума, по вышеизложенному ([п. 9]), есть именно становящаяся точка, так что лучше уже говорить не о точках, а прямо об отрезках.

c) Наконец, континуум, лишенный признаков транс–финитности, есть континуум, в котором ни одна точка не есть предельная. А это исключается самим определением континуума как совершенного множества.

Итак: континуум вне категории конечного есть сплошность неизвестно чего; он же, лишенный категории трансфинитного; есть сплошность неизвестно какая, а лишенный категории бесконечно–малого, он вообще не есть сплошность.

е) Самое же главное (оно же предпосылка, оно же резюмирующий вывод) во всем этом исследовании заключается в отрицании грубоколичественного подхода не только к категориям континуума, трансфинитных чисел и бесконечно–малых величин, но даже и к самим конечным числам и величинам. Даже и конечность числа не есть количественная характеристика числа, ибо по голому количеству еще нельзя судить, конечное оно или бесконечное. Если я сказал «пять», то только обыденная традиция человеческого сознания заставляет признать, что это есть именно нечто конечное. Сама же отвлеченно взятая пятерка — и бесконечность, и континуум, и ни то ни другое, смотря по точке зрения. В связи с этим шестерка больше, чем пятерка, но бесконечность ничуть не больше пятерки; и если математики так выражаются, то они сами же себя секут, когда начинают оперировать с бесконечными величинами. Оказывается, хотя последние только и «больше» конечных, но на самом деле они по самому существу своему совсем другие, так что неприменимо даже самое это понятие «больше» или, вернее, оно имеет тут везде разный диалектический смысл.

Одна структура — это арифметическая едино–раздель–ность; тут свое понимание[98] «большего», «меньшего» и «равного», а именно, эти понятия даны едино–раздельно, стабильно. Совсем другая структура—инфинитези–мальное становление; другое здесь и понимание «больше», «меньше» и «равняется», а именно, тут самые эти понятия даны в становлении, в текучести, поэтому и самые операции в анализе бесконечно–малых совсем другие. Как ясно из предыдущего исследования понятия трансфинитного числа и континуума, также и здесь свое собственное понимание этих >, < и =. Поэтому нельзя говорить, что бесконечное больше конечного, если само «больше» в бесконечном и конечном разное.

Можно сказать еще и так. Конечное и многочисленные виды бесконечного не есть различие предметное, бытийственное, но — чисто смысловое, а именно, вырази–тельно–смысловое. С точки зрения онтологической предметности о бытии с одинаковым правом можно сказать и что оно конечное, и что оно бесконечное, и что оно континуальное, сплошное. Можно сказать, что существует только конечное, а бесконечность и континуум есть его виды (хотя тут надо было бы проанализировать, что значит «вид»[99] Можно сказать, что существует только бесконечное, а конечное и континуум есть его виды. Можно сказать, что существует только континуум, а конечное и бесконечное есть его виды. Везде тут по–разному придется понимать термин «вид», но, не вникая в подробности, можно с некоторым грубоватым, но вполне реалистическим добродушием сказать, что одно тут «подчинено» другому и что каждая из этих категорий вполне «выводима» из другой. В одном случае «выведение» есть заполнение фона, в другом оно есть выделение и вырезывание на некоем фоне. Но зато уже ни при каком реализме недопустим ни мещанский субъективизм Брауэра и Бэра, ни рационалистическая импотенция Бореля и Лебега. Только «демон» Цермело немного высовывает свою голову из этого мещанского болота мелкого субъективизма, да и тут способен только беспомощно выставить правильный тезис, будучи не в силах претворить его в живую действительность.

§ 73. Аксиома выражения в теории вероятностей.

Наконец, необходимо дать не подробную, но все же принципиально определенную установку для дедукции выразительной сферы и в области теории вероятностей. Ограничимся самым необходимым.

1. а) Выражение есть внешность, по которой узнается внутреннее. До сих пор (§ 49, 53, 57, 61.4, 62.5, 63.7) мы находили в теории вероятностей только такие категории, о которых нельзя было сказать, внутренние они или внешние. Самое это различие впервые зарождается там, где полагается различие факта и смысла, т. е. на ступени наличного бытия. Дальнейшее уже будет смыслом факта, т. е. чем–то внешним, поскольку и факт есть внешнее в сравнении с тем внутренним, которым теперь оказывается чистый, т. е. до–фактный, смысл. Раньше мы находили в теории вероятностей отдельные операции над вероятностями (§ 62.5) и закон больших чисел (§ 63.7). Необходимо, следовательно, подчинить эти операции и это применение закона больших чисел таким новым преобразованиям, которые бы превратили их в то, что, будучи по существу внутренним, теперь сорганизовалось заново и потому стало внешним.