Хаос и структура

На основании такого толкования эллиптической планиметрии мы должны сказать, что все категории геометрии предыдущих аксиом тут понимаются в новом смысле и эта новизна везде обладает одним и тем же методом, методом выразительности. Выразительность же есть прежде всего встреча идеи в инобытии с самой собой. И вот: точка эллиптического пространства уходит в свое инобытие, но все это инобытие, весь путь, пройденный ею, есть точка же; прямая эллиптического пространства уходит в свое инобытие, создавая своим движением плоскость, но эта плоскость есть только та же прямая; отрезок, вращаясь около своей начальной точки, создает угол, но этот угол мы считаем отрезком эллиптической плоскости; угол на эвклидовской плоскости таким же точно путем превращается у нас в двугранный угол, но этот двугранный угол и есть угол эллиптической плоскости и т. д. Везде тут один и тот же метод — выражение идеальной фигуры при помощи инобытийного к ней пространства, если под выражением понимать не внешний безразличный привесок, но самостоятельную смысловую категорию.

Усвоивши себе этот выразительный символ эллиптического пространства, нетрудно уже дедуцировать и прочие особенности последнего, равно как и видеть эллиптически–выразительные модификации всех предыдущих аксиом. «Аксиомы сочетания», очевидно, пополняются указанием на то, что всякие вообще две прямые пересекаются, равно как и плоскости. В «аксиомах расположения» уже нельзя просто утверждать, что если А предшествует В, то В следует за А, так как на замкнутой кривой две точки еще не дают представления о направлении. Только четыре точки, или т. н. разделение двух пар точек, обеспечивают здесь категорию следования и «порядка». Две точки определяют тут не один отрезок, а два (ввиду той же замкнутости прямых). Но так как две прямые продолжают тут пересекаться в одной точке, то получается, что прямая не делит эллиптической плоскости на две раздельные части, а плоскость не делит пространства на две равные части. Две пересекающиеся прямые образуют тут не четыре угла, как у Эвклида, а только два, и два смежных угла, равно как и полный угол, одинаково равняются двум прямым углам. Легко доказывается и существование в эллиптической плоскости треугольника, у которого все углы прямые. Так как угол равен тут отрезку, то длина полупрямойа длина всей прямой = . Можно сказать, что прямая есть частный случай окружности, когда ее радиус равен Сумма углов треугольника всегда меньше . Этот факт, между прочим, если его истолковать методом связки, есть не что иное, как то, что сумма трех двугранных углов треугольника больше двух прямых двугранных углов. Это обстоятельство так же ясно, как и то, что прохождение через одну точку всех перпендикуляров к одной и той же прямой соответствует прохождению через некоторую прямую всех плоскостей связки, перпендикулярных к одной и той же плоскости. Площадь всей плоскости = 2 и т. д. и т. д.

Если мы обратим внимание на то, что в эвклидовской сферической тригонометрии сферический треугольник есть не что иное, как трехгранный угол с вершиной в центре шара и сторонами, равными дугам больших кругов, то можно будет сказать, что прямолинейная эллиптическая тригонометрия вполне тождественна с эвклидовской сферической тригонометрией. Если наши отвлеченно–идеальные фигуры будут воплощены на поверхности шара, но в то же время будут квалифицироваться не как явления на поверхности, а как явления на плоскости, то мы и получим эллиптическую геометрию. Этим фигурам будет свойственна любая выразительная кривизна, зависящая не от них самих, но от непосредственного отождествления их с чистым и пустым, абсолютно алогичным инобытием–пространством.

Наконец, из основных геометрических свойств анализируемой плоскости я бы указал еще на одно, может быть, самое замечательное, что здесь имеется. Именно, эллиптическая плоскость односторонней. И чтобы это понять, тут тоже необходимо полететь «вверх пятами», но только на этот раз уже в буквальном смысле. Можно ли себе представить, что плоскость не имеет двух сторон, например верхней и нижней? Казалось бы, это есть уже какое–то умопомешательство. А тем не менее это надо себе представить, так как настоящая математика вообще есть ниспровержение «здравого рассудка», хотя людская пошлость сумела и здесь поставить все вверх дном и понять математику именно как апофеоз здравого рассудка. Но что же это такое, односторонняя плоскость, или поверхность? Укажем сначала ее философское место и потом приведем и геометрический образ.