Хаос и структура

b) Во–первых, вполне абсурдно применять к геометрическим фигурам понятие движения в физическом смысле. Когда мы говорили о покое и движении, то понимали под этим чисто смысловые категории (образец: от единицы мы «движемся» к двойке, от двойки — к тройке, и т. д.). Но говорить о том, что треугольник «движется» по пространству— это значит высказывать нелепость или выбирать слишком грубую манеру выражаться. В этом же смысле можно говорить о движениях по топологическому или проективному пространству. В этом [же] смысле «движение» играет первостепенную роль и в аксиоме параллельности (к которой мы в дальнейшем перейдем), так как, чтобы судить о том, встречаются ли где–нибудь параллельные или нет, надо прежде всего «двигаться» по этим параллельным. Движение в этом смысле играет первостепенную роль везде в числе, начиная с его первых категориальных моментов.

Во–вторых, под «движением» геометры имеют в виду здесь вовсе не движение, а, наоборот, если угодно, «покой», так как понятие конгруэнтности есть во всяком случае понятие как [ого ] — то взаимо–соответствия, взаимосоотнесенности, какого–то совпадения, а это все суть виды покоя или, лучше, подвижного покоя. В–третьих, однако, дело тут, конечно, и не в покое. И движение, и покой суть слишком общие категории, применяемые в математике решительно ко всему[65], и не ими можно вскрыть сложную категорию геометрической конгруэнтности. Чтобы ее усвоить, надо присмотреться к ряду простейших геометрических операций. Пусть мы впервые пришли от точки А до точки В. Мы получили некую линию — пусть, например, прямую. Профану покажется, что если речь идет о получении прямой, то одной этой операции «движения» от А до В и достаточно, чтобы получить прямую. На самом же деле это вовсе не так просто.

с) Мало линию провести. Надо, после ее проведения, еще раз пробежать по ней глазами, сравнивая ее с окружающим фоном. Если этого становления не произведено, мы не можем поручиться, что наша прямая есть действительно прямая. Чтобы она была, надо, чтобы она отличалась от всего иного. Когда же мы ее проводили, мы действовали пока еще как бы слепо; и зрячими стали мы в отношении прямой только тогда, когда, пробегая по ней еще раз, мы будем исследовать, действительно ли она во всех своих точках в одинаковом смысле отличается от всего иного (от своего фона), т. е. действительно ли она есть замысленная прямая. Но и того еще мало. Надо еще третий раз пробежать глазами по полученной прямой и опять — совершенно с новым смысловым содержанием. Мы отличили нашу прямую от ее фона, но мы должны еще и отождествить ее с самой собою. Мы сравнили ее с иным, но мы также должны сравнить ее с нею же самою. Когда мы ее провели в первый раз, мы еще не знали, что она такая, потому что весь смысл такой прямой был только смыслом первого ее утверждения, гипо–стазирования, первого ее бытийственного положения. Когда мы провели ее во второй раз, мы уже получили возможность сказать, что наша линия а не есть ни b, ни с, ни вообще что–нибудь иное. Когда же мы проходили по нашей линии в третий раз, мы получили впервые возможность сказать, что наша прямая а есть именно прямая а.

Для этого надо было, пробежавши от А до В, пробежать еще от В к А и — отождествить оба прохождения.

Первый процесс проведения прямой был полаганием ее едино–раздельности, второй—ее становления (непрерывности), третий процесс есть полагание ее конгруэнтности. Тут мы пока утверждаем самое начало конгруэнтности,, а именно, когда отрезок конгруэнтен самому себе, но зато всякая иная конгруэнтность вырастает отсюда уже сама собой.