Хаос и структура

Это обычный вид формулировки, как он дается в арифметике. Не преследуя философских целей, он, конечно, и не может давать нам полной логической ясности и обоснованности, и нас при этом заметно беспокоят вопросы: почему тут эти, а не другие законы, почему тут только сложение и умножение и пр.? Это заставляет, с логической точки зрения, взглянуть на них несколько иначе при всей их непосредственной арифметической очевидности. Арифметически–то они очевидны, но логически они совсем не очевидны.

b) Начнем с конца. Дистрибутивный закон, очевидно, есть частный случай законов сложения — умножения вообще. Если мы имеем произведение а · [d] и если [d] есть не что иное, как некая сумма b + с, то само собой очевидно, что а · (b + с) = а · b + а · с. Отсюда, хотя в нашем случае дистрибутивность умножения используется совсем для других логических целей (не просто для иллюстрации законов самого сложения и вычитания), все же, взятая сама по себе, она вполне доказуема на основании категории только простого сложения и умножения.

Дистрибутивный закон показывает, что совокупность можно распределить между частями другой совокупности так, что это никак не повлияет на общий результат операции с такими совокупностями.

С другой стороны, ассоциативный закон, как легко заметить, есть частный случай коммутативного закона. Если мы знаем, что a + b = b + a, то стоит только представить, что b равняется какой–нибудь сумме с + а, как делается очевидным и ассоциативный закон. В самом деле, если a + b = b + a, то, значит, в смысле объединения с а одинаковым образом ведут себя и отдельные части этого b. Ведь, когда говорится b, не имеется в виду, какое оно, большое или малое, часть чего–нибудь или само дано как целое. Если ему свойственна такая общность, то под этим b можно понимать и с, т. е. одно из слагаемых нашего общего b. А это и значит, что а и с могут свободно обменяться местами без влияния на общую сумму, т. е. обнаруживается действие коммутативного закона. Равным образом и закон a(b–c) = (ab) — c есть тоже лишь логическое следствие того же самого коммутативного закона, стоит только в коммутативном законе один из сомножителей представить как произведение новых сомножителей. Точнее будет сказать, что если в коммутативном законе одна совокупность может быть поставлена на место другой, то по ассоциативному закону одна совокупность может быть поставлена на место элемента другой совокупности.

Но тогда нетрудно уловить и общую схему этих трех законов счета: коммутативный закон требует независимости арифметической операции от перемены порядка различных совокупностей; ассоциативный закон требует независимости от перемены одной совокупности на любой элемент другой; и, наконец, дистрибутивный закон требует равноправия в общей операции двух раздельных совокупностей с равномерным распределением одной из них по всем элементам другой. Все же эти три арифметических закона порождены одной общеарифметической аксиомой: закон конгруэнтности числа есть закон получения его из элементов, различающихся между собою исключительно только своей чисто количественной значимостью и абсолютно тождественных в смысле какого бы то ни было инобытия, какого бы то ни было своего инобытийного положения. Итак, можно дать следующую формулу этой аксиоме.

3. а) Чтобы дать общую и строгую логическую формулу аксиомы ставшего наличного бытия в арифметике, будем рассуждать так. Ставшее есть то, что остановилось. Покамест оно не остановилось, оно было только становлением. Становление, по самому существу своему, неопределенно. Оно идет неизвестно откуда и неизвестно куда. То есть чистый алогизм бытия, в котором, как в таковом, невозможны никакие расчленения. Невозможно применить к нему, например, категорию тождества; и нельзя даже сказать, тождественно ли оно себе самому, ибо оно в каждый момент все разное и разное и его невозможно поймать ни в какой точке; в нем все плывет сплошно. Но вот оно остановилось, т. е. мы перешли к ставшему. Это значит прежде всего, что становление оказалось чем–то, и прежде всего самим собою, оно стало тождественным с самим собою. Ставшее есть тождество становления с самим собою. Но что надо для того, чтобы установить тождество становления с самим собою? Для этого надо вернуться с конечной точки становления к первоначальной; и если оба направления становления окажутся тождественными по своему процессу и по своему результату, то искомое тождество и будет установлено. Итак, ставшее есть не что иное, как тождество направлений становления в смысле их общего результата.

К этому сводятся и указанные выше законы счета. Единственное, что утверждает коммутативный закон, — это тождество направления производства арифметической операции. О разных вариациях этого направления и об их тождестве в смысле результата говорят и другие два закона. Следовательно, мы могли бы сказать так.