Как покупать дешево и продавать дорого: Пособие для разумного инвестора

Размах накопленного отклонения R является наиболее важным элементом формулы расчета показателя Хёрста. В общем виде его вычисляют следующим способом:

где Z_u — накопленное отклонение ряда x от среднего X_ср:

Для анализа рядов случайных блужданий Хёрст предложил использовать следующую формулу расчета нормированного размаха R/S, которая верна для больших N [298]:

Из вышеприведенных формул можно рассчитать константу a для случайных рядов, так как известно значение показателя Хёрста для таких рядов (H = 0,5):

Проведенные мной расчеты для 65 530 испытаний по анализу динамики ряда случайных чисел при N = 5000 дали следующие результаты (табл. П.1).

Таблица П.1

Теоретические и фактические значения показателя Хёрста для случайных рядов (N = 5000, 65 530 испытаний)

Из приведенной выше таблицы мы видим, что константа a для рядов случайных чисел действительно скорее равна π/2, так как именно эта константа позволяет получить значение показателя Хёрста для данных рядов близким к 0,50 (если быть точнее, фактический H случайного ряда при a = π/2 близок к ). Соответственно, для дальнейших исследований рыночных рядов мы будем использовать именно эту константу a = /2. В противном случае, например, если мы примем константу a равной 0,5, то рассчитанные таким образом значения показателя Хёрста окажутся существенно завышенными, а значит, могут намекать на персистентность (трендовость) даже случайных рядов.

Например, 65 530 испытаний случайных рядов при N = 5000 дали средний результат R/S = 87,6 при стандартном отклонении 19,2 и теоретическом значении, рассчитанном по приведенной выше формуле, R/S = 88,6 (рис. П.8). Впрочем, при индивидуальных испытаниях с увеличением количества наблюдений N фактические значения R/S не всегда стремятся к теоретическим.

Рис. П.8. Графики корреляции между теоретическими и фактическими значениями R/S на случайных рядах для разных N (от 10 до 5000), количество испытаний — 65 530

Источник: собственные расчеты автора.

При определении числа оптимального количества наблюдений N полезен анализ корреляционной взаимосвязи между log (R/S) и log (N) — это и есть так называемый R/S-анализ (рис. П.9). На точках излома этой зависимости (а их может быть несколько на одном графике) и находятся N. У математического значения N есть интересная и важная психологическая подоплека — в течение данного интервала времени жива память рынка о первоначальной информации. И так как значимой информации может быть много, то циклу жизни каждой информации (начиная с момента ее появления до условной «смерти») соответствует свое значение N.

Рис. П.9. Графики корреляции между теоретическими и фактическими значениями R/S на случайных рядах для разных N (от 10 до 5000), количество испытаний — 65 530

Источник: собственные расчеты автора.

Английский историк Томас Карлейл писал: «С помощью цифр доказать можно все, что угодно»[299]. Эти слова отражают укоренившееся с метких слов Марка Твена мнение о статистике как о большой лжи. Однако спрятать правду без цифр, за красивыми словами, гораздо проще — просто послушайте политиков, которые обожают говорить с народом общими фразами и нередко путаются в самых элементарных цифрах. Поэтому я все-таки советую почаще работать с цифрами. И тогда обмануть вас будет сложнее. Именно поэтому мы проверим традиционную формулу расчета показателя Хёрста на случайных данных на предмет ее соответствия ожидаемому результату — 0,5.

Расчеты показывают, что при незначительных количествах наблюдений N фактические расчеты нормированного размаха R/S случайных рядов дают заметно заниженные результаты по сравнению с теоретическим R/S, рассчитанным исходя из H = 0,5. Данное несоответствие порождает меньшие значения показателя Хёрста при малых N (рис. П.10, рисунок слева).

Рис. П.10. Динамика показателя Хёрста (стандартного для случайных рядов, H = 0,5) и фактического показателя Хёрста (на случайных рядах для разных N, количество испытаний — 65 530) — слева. Корреляция между количеством наблюдений N и отношением стандартного и фактического показателей Хёрста — справа

Источник: собственные расчеты автора.

Чтобы устранить возникающее несоответствие, особенно заметное при значениях N до 250, мы должны будем фактически рассчитанные значения нормированного размаха исследуемого ряда исходных данных преобразовать при помощи следующей формулы:

Однако из-за особенностей логарифмических расчетов показателя Хёрста скорректированное значение нормированного размаха (R/S_T) также будет содержать незначительную погрешность. И мы вновь увидим, что чем меньше количество наблюдений N, тем больше будет отставание рассчитанного по R/S_T показателя Хёрста (рис. П.10, рисунок справа).