Как не ошибаться. Сила математического мышления

Однако существует одна важная особенность: беременность – явление довольно распространенное, тогда как терроризм – скорее редкое. Почти во всех случаях расчетная вероятность того, что данный пользователь станет террористом, крайне мала. Таким образом, итогом этого проекта стал бы не центр профилактики преступлений – как в фильме Minority Report («Особое мнение»), – в котором всеобъемлющий алгоритм Facebook раньше вас узнает, что вы собираетесь совершить преступление. Представьте себе нечто более непритязательное: скажем, список сотен тысяч пользователей, о которых Facebook с определенной степенью достоверности может сказать следующее: «Вероятность того, что люди из этой группы могут быть террористами или пособниками терроризма, в два раза больше, чем в случае обычных пользователей Facebook».

Что вы сделаете, если обнаружите, что человек, входящий в этот список, живет с вами по соседству? Наверное, позвоните в ФБР?

Прежде чем предпринимать этот шаг, давайте нарисуем еще одну матрицу.

Содержимое этой матрицы – около 200 миллионов пользователей сети Facebook в Соединенных Штатах. Линия между верхней и нижней частями матрицы отделяет будущих террористов (верхняя часть) от невиновных (нижняя часть). Безусловно, любая террористическая ячейка в США довольно немногочисленна. Скажем, если быть максимально подозрительными, в стране есть около 10 тысяч людей, за которыми федералам действительно стоит присматривать. Это один из каждых 20 тысяч пользователей общей пользовательской базы.

Разделение матрицы на левую и правую часть, собственно, и есть то, что делает Facebook: с левой стороны находится сотня тысяч людей, которых в Facebook считают с высокой степенью вероятности связанными с терроризмом. Давайте поверим Facebook на слово, будто их алгоритм настолько хорош, что отмеченные таким образом люди могут быть террористами с вероятностью в два раза большей, чем обычные пользователи. Следовательно, в этой группе один из 10 тысяч пользователей, или 10 человек, окажутся террористами, тогда как 99 990 – нет.

Если 10 из 10 000 будущих террористов находятся в верхней левой клетке, значит, в верхней правой находятся оставшиеся 9990 пользователей. С помощью тех же рассуждений можно сделать такой вывод: в пользовательской базе Facebook есть 199 990 000 людей, не являющихся террористами; 99 990 из них были отмечены алгоритмом и находятся в нижней левой клетке; оставшиеся 199 890 010 пользователей относятся к нижней правой клетке. Если сложить значения всех четырех клеток матрицы, получится 200 000 000 пользователей – другими словами, все пользователи Facebook в США.

Где-то в этой матрице, состоящей из четырех клеток, находится и ваш сосед по дому.

Но где именно? Он болтается где-то в левой половине матрицы, поскольку в Facebook его отнесли к числу подозреваемых, – и это все, что вы знаете.

Следует обратить внимание, что в левой половине матрицы почти нет террористов. На самом деле вероятность того, что ваш сосед невиновен, составляет 99,99 %.

В каком-то смысле это ситуация аналогична той панике, возникшей в Англии из-за противозачаточных препаратов. Включение пользователя в список Facebook в два раза увеличивает вероятность, что он террорист, что звучит ужасно. Но исходная вероятность сама по себе крайне мала, поэтому, если вы увеличите ее в два раза, она по-прежнему останется совсем небольшой.

Однако эту ситуацию можно интерпретировать и другим способом, который еще больше подчеркивает, насколько вероломными и сбивающими с толку могут быть рассуждения о неопределенности. Задайте себе такой вопрос: если человек на самом деле не является будущим террористом, какова вероятность, что его без всяких на то оснований включат в список Facebook?

В представленной выше матрице это означает следующее: если вы находитесь в нижней строке матрицы, какова вероятность того, что ваше место именно в левой клетке?

Это достаточно легко вычислить. В нижней половине матрицы 199 990 000 пользователей, из которых 99 990 находятся слева. Следовательно, вероятность того, что алгоритм Facebook отметит невиновного человека как потенциального террориста, составляет:

99 990/199 990 000,

или около 0,05 %.

Все верно: невиновный человек имеет всего один шанс из двух тысяч, что Facebook неправильно отнесет его к числу потенциальных террористов!

Какие чувства вы испытываете по отношению к своему соседу теперь?

Ход рассуждений, лежащий в основе p-значения, дает нам четкий ориентир. Нулевая гипотеза состоит в том, что ваш сосед не террорист. В соответствии с этой гипотезой (другими словами, исходя из невиновности соседа) вероятность того, что он появится в «красном списке» Facebook, составляет всего 0,05 %, гораздо ниже порога статистической значимости 1 из 20. Другими словами, согласно правилам, которым в подавляющем большинстве случаев подчиняется современная наука, вы имеете все основания отбросить эту нулевую гипотезу и объявить своего соседа террористом.

Вот только вероятность того, что он не террорист, равна 99,99 %.