Истина в пределе

равна бесконечности, такова: «К величине, равной 1, прибавим ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄ и следующие дроби, сумма которых равна бесконечности. В самом деле из членов этого ряда можно составить бесконечное число групп, сумма которых будет больше ¹/₂.

Так, ¹/₃ + ¹/₄ больше ¹/₂, так как каждое из двух слагаемых больше ¹/₄.

Аналогично,

¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈

больше ¹/₂, так как каждое из четырех слагаемых больше ¹/₈.

Аналогично

¹/₉ + ¹/₁₀ + … + ¹/₁₆

больше ¹/₂, так как каждое из восьми слагаемых больше ¹/₁₆, и так до бесконечности».

Наука в Европе XVII века

Перед тем как рассказать об открытиях, совершенных в XVII веке, в результате которых появился анализ бесконечно малых, будет уместно описать ситуацию в европейской науке начала XVII века.

Во-первых, нужно уточнить, что математика и наука в целом тогда не были уделом профессионалов, как в наше время. В университетах не проводились научные исследования, а полученные результаты обычно не изучались более подробно — можно сказать, что это было не принято. Почти никто из ученых, о которых мы расскажем на следующих страницах, не был профессиональным математиком: некоторые были юристами, другие — архитекторами, дипломатами, богословами, и лишь очень немногие зарабатывали на жизнь математикой или же были как-то связаны с университетами. Поэтому когда мы называем кого-либо математиком, это означает, что этот ученый внес вклад в развитие математики, но мог иметь совершенно иную сферу профессиональных и научных интересов.

Это привело к ряду неудобств. Исследователи объединялись вокруг одного ученого или любителя науки, подобные группы часто были изолированными друг от друга или враждовали, что было вызвано вопросами патриотизма или спорами о научных состязаниях или турнирах, которые в ту эпоху проводились очень часто. По всем этим причинам полученные результаты распространялись неэффективно: как правило, о них упоминали в письмах друзьям или знакомым, далее, спустя некоторое время (иногда крайне длительное) эти знания оформлялись в виде книг, которые также не становились достоянием широкого круга.

В этих условиях лучшее математическое образование давали не университеты, а отдельные ученые. Одним из ведущих научных обществ первой половины XVII века была Accademia Nazionale dei Lincei (Национальная академия деи Линчей), в которой состоял Галилей. Академия была основана в Риме в 1603 году и прекратила свое существование спустя 30 лет. Центром, возможно, важнейшего научного общества был монах францисканского ордена минимов Марен Мерсенн (1588—1648). Мерсенн, который жил в Париже начиная с 1610-х годов, создал кружок математиков и ученых, встречи которого проводились еженедельно. Мерсенн помогал многим европейским ученым и философам поддерживать переписку с Дезаргом, Ферма и Паскалем (последний начал посещать встречи кружка в конце 1630-х, будучи еще подростком). Кружок также способствовал распространению философских трудов Декарта и астрономических трактатов Галилея. Помимо организаторской работы, Мерсенн также внес вклад в математику и акустику.

В начале XVII века было восстановлено практически все математическое и научное наследие Древней Греции, сохранившееся после бурных времен Средневековья. Хотя «Начала» Евклида и другие базовые труды были хорошо известны и изучены, более глубокие и сложные трактаты, в частности книги Архимеда, были поняты лишь несколько десятилетий спустя. Их освоение сыграло решающую роль в создании анализа бесконечно малых. Некоторые из отцов-основателей исчисления, в частности Валлис и Барроу, имели в личной библиотеке экземпляры трудов Архимеда. Достаточно сказать, что Архимед был наиболее цитируемым автором во всех книгах о вычислении площадей и объемов, написанных в течение всего этого столетия.

Однако один из аспектов математики Архимеда и древнегреческой математики вообще радикально изменился. Речь идет о логической строгости изложения. Математика XVII века была намного менее строгой и четкой, чем древнегреческая. Может показаться, что это был шаг назад, однако именно эта смена парадигмы в итоге позволила преодолеть границы, обозначенные в древнегреческой математике, и, в частности, создать математический анализ. В отличие от ученых Древней Греции, математиков XVII века интересовали открытия, а не безупречно строгие доказательства.