Истина в пределе

Аналитическая геометрия позволила сопоставить кривым уравнения. Например, окружности единичного радиуса, то есть кривой, все точки которой отстоят на одну единицу от фиксированной точки, называемой центром, соответствует уравнение x² + y² = 1. Также стало возможным сопоставить уравнениям кривые, в результате чего математики смогли изучить намного больше кривых. Теперь, чтобы задать новую кривую, вместо определения ее геометрических свойств требовалось лишь написать соответствующее уравнение. Кроме того, стало возможным применение алгебраических методов для решения геометрических задач, в частности задач на вычисление площадей, определение углов наклона касательных и так далее.

На смену частным геометрическим методам пришли более общие — алгебраические. Например, расчет угла наклона касательной для разных кривых радикально отличался, а методы алгебры, в частности нахождение производной, позволяли определять угол наклона касательной одним и тем же способом для всех кривых. Для этого достаточно было использовать алгоритм, созданный на основе правил вычисления производной.

Следует осознать всю важность открытия этих общих правил, скрытых за неимоверным числом частных результатов, которые были накоплены за первые три четверти XVII века, Именно общие правила аналитической геометрии позволили Ньютону и Лейбницу стать первооткрывателями математического анализа.

Вычисление квадратуры и кубатуры

Вернемся в начало XVII века и расскажем подробнее о методах анализа бесконечно малых, ставших основой математического анализа. Начнем с методов вычисления площадей и объемов, или, говоря языком той эпохи, расчета квадратур и кубатур.

Из всех методов, появившихся в первой трети этого столетия для решения подобных задач, наиболее важным был метод неделимых, предложенный учеником Галилея, преподавателем Болонского университета Бонавентурой Кавальери (1598— 1647). В одном ряду с ним стоят только методы вычисления объема, разработанные Кеплером, которые использовались австрийскими виноделами при изготовлении бочек.

Можно сказать, что в основе метода неделимых лежали принципы, предложенные еще Архимедом. Кавальери рассматривал площади фигур как множество линий, объемы — как множество плоских сечений. Множество линий, образующих плоскую фигуру, Кавальери называл omnes linae («все линии»). Стало возможным сравнение площадей любых двух плоских фигур путем сравнения соответствующих им omnes linae: согласно Кавальери, «фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле», как показано на иллюстрации.

Метод Кавальери был применим не только для расчета площадей, но также для расчета объемов тел. Он попытался разработать целую теорию неделимых, которая позволила бы доказать полученные им результаты без использования понятия бесконечности (как строили свои доказательства древнегреческие математики). Однако в его рассуждениях очевидно используется актуальная бесконечность. Это стало определенным преимуществом, так как именно явное присутствие бесконечности привело к тому, что метод Кавальери оказался более гибким, пусть и менее строгим, чем метод исчерпывания, к которому прибегали греки. С помощью своего метода неделимых Кавальери вычислил площадь фигур, ограниченных параболой общего вида xⁿ для n = 3, 4, 5, 6 и 9. Тем самым он намного опередил Архимеда, который провел расчеты площади лишь для параболы и спирали, которым соответствовала функция х².

По сравнению с открытыми позднее способами вычисления площадей и объемов метод неделимых Кавальери обладает рядом недостатков: он недостаточно общий, слишком зависит от геометрических рассуждений, не говоря уже о логической небезупречности. Однако этот метод позволил найти новые квадратуры и кубатуры и превзойти результаты, полученные древнегреческими математиками.

Кроме того, недостатки этого метода вскоре удалось преодолеть. Так, Эванджелиста Торричелли (1608—1647), друг Кавальери, мастерски использовал этот метод и нашел различные строгие доказательства в стиле древнегреческих математиков, а Ферма, Паскаль и Валлис, а также Роберваль (1602—1675) и его метод бесконечно малых преобразовали геометрический метод Кавальери в алгебраический, благодаря чему он стал более общим и его стало возможно применять более широко.

^{Фрагмент мраморной статуи Бонавентуры Кавальери, хранящейся в Академии искусств Милана. Ученый изображен размышляющим над бесконечно малыми величинами.}