Истина в пределе

Исаак Ньютон — один из самых известных и уважаемых ученых всех времен. Хотя это часто не принимается во внимание, но он в наибольшей степени обязан этой славе своим способностям к математике. Именно благодаря им он заметно выделялся среди других ученых того времени, и без них было бы невозможно написание его главного труда — «Математические начала натуральной философии». Иными словами, Ньютон открыл «систему мира», благодаря чему, как удачно заметил Лагранж, стал самым удачливым из всех ученых, поскольку существует лишь одна система мира, которую можно открыть. Именно благодаря глубоким знаниям математики, которыми не обладали его современники, Ньютон смог подкрепить и обосновать свои открытия. По словам Вестфолла, «математика была первой и главной страстью Ньютона. Именно из математики он заимствовал критерии логической строгости, которых неизменно придерживался на протяжении всего своего пути в науке. Ньютон собирался совершить плавание по неизвестным океанам мысли, из которых не вернулись многие искатели приключений XVII века. Ньютон не просто вернулся из этого путешествия — он привез с собой трофеи. Возможно, именно математическая дисциплина помогла ему добиться успеха».

Многие считают, что Ньютон был исключительно физиком, точнее натурфилософом, или занимался прикладной математикой. Стоит напомнить, что писал по этому поводу Дерек Том Уайтсайд, составитель прекрасного восьмитомника рукописей Ньютона по математике: «Никогда не следует забывать, что математика была для Ньютона не просто набором инструментов для поиска истины. Она обладала внутренней красотой и силой, не зависящей от внешних причин и способов практического применения. Тем, кто не чувствует элегантность и мощь математики как самостоятельной дисциплины, я представляю Ньютона — «чистого» математика, который, как в библейской метафоре, удалился от мира в башню из слоновой кости в Кембридже, где занимался поисками новых теорем, свойств, алгоритмов и доказательств, элегантных самих по себе. И сколь удивительно он использовал свой талант и способности! В то время в мире не было более одаренного и разностороннего математика, никого, кто больше него разбирался бы в алгебре, геометрии и в тонкостях анализа бесконечно малых».

Из всех математических открытий Ньютона, вне всяких сомнений, открытие анализа бесконечно малых было наиболее важно и имело наиболее значимые последствия.

Первые идеи о математическом анализе появились у Ньютона в наиболее знаменательный период его жизни — в 1665—1666 годы. В рукописи, написанной им за несколько лет до смерти в 1727 году, мы читаем: «В начале 1665 года я открыл метод приближенного вычисления с помощью рядов, а также правило, по которому можно свести бином любой степени к такому ряду. В мае того же года я открыл метод построения касательных Грегори и де Слюза, а в ноябре получил метод флюксий. В январе следующего года я развил теорию цветов, в мае начал работать над обратным методом флюксий. В том же году я начал размышлять о тяготении применительно к орбите Луны и на основе законов Кеплера определил силы, которые удерживают планеты на орбитах».

Его первая работа по математическому анализу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi per aequationes numero terminorum infinitas) была завершена в 1669 году, но опубликована только в 1711-м.

Эту книгу Ньютон написал в конце июня 1669 года (точные даты неизвестны) всего за несколько дней, взяв за основу результаты собственных исследований, проведенных в 1664 году. Ньютон использовал разложение логарифмической функции в степенной ряд, описанное Николасом Меркатором в книге Logarithmotechnia. Он также руководствовался слухами и предположениями о том, какими исследованиями в то время занимались другие ученые.

^{Первая страница английского издания «Анализа».} 

«Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» имел огромную ценность. После публикации этой работы, несмотря на ее небольшой объем, Ньютон был признан создателем анализа бесконечно малых, а его труд — основополагающим в этом новом разделе математики. В первой части книги Ньютон показывает, как с помощью степенного ряда можно произвести расчет квадратуры для множества функций, используя в качестве основы базовую квадратуру

ax^m/n 

Рассуждения Ньютона стоит изложить подробнее. Для простоты мы приведем частный случай, описанный самим Ньютоном, для площади, ограниченной кривой, которая задается следующей формулой:

Ньютон действовал так.

Увеличим на бесконечно малую величину, которую обозначим за о (это обозначение использовал сам Ньютон) абсциссу х. Площадь увеличится на площадь прямоугольника с вершинами x, y(x), y(x + o) и x + o, как показано на иллюстрации. Возьмем прямоугольник со сторонами o и v такой, что его площадь будет равна упомянутому приращению площади. Получим:

Возведя обе части в квадрат и упростив равенство, получим:

Разделив обе части на о, получим: