Читаем I Am a Strange Loop полностью

The problem stems from the consistency of the rock base underlying the glaciers at the very top; it is so delicate that, were any climber to come within striking distance of the peak, the act of setting the slightest weight on it (even a grain of salt; even a baby bumblebee’s eyelash!) would instantly trigger a thunderous earthquake, and the whole mountain would come tumbling down in rubble. So the peak’s inaccessibility turns out to have nothing to do with how anyone might try to get up to it; it has to do with an inherent instability belonging to the summit itself, and moreover, a type of instability that only Gödel rays can reveal. Quite a silly fantasy, is it not?

Downward Causality in Mathematics

Indeed it is. But Kurt Gödel’s bombshell, though just as fantastic, was not a fantasy. It was rigorous and precise. It revealed the stunning fact that a formula’s hidden meaning may have a peculiar kind of “downward” causal power, determining the formula’s truth or falsity (or its derivability or nonderivability inside PM or any other sufficiently rich axiomatic system). Merely from knowing the formula’s meaning, one can infer its truth or falsity without any effort to derive it in the old-fashioned way, which requires one to trudge methodically “upwards” from the axioms.

This is not just peculiar; it is astonishing. Normally, one cannot merely look at what a mathematical conjecture says and simply appeal to the content of that statement on its own to deduce whether the statement is true or false (or provable or unprovable).

For instance, if I tell you, “There are infinitely many perfect numbers” (numbers such as 6, 28, and 496, whose factors add up to the number itself), you will not know if my claim — call it ‘Imp’ — is true or not, and merely staring for a long time at the written-out statement of Imp (whether it’s expressed in English words or in some prickly formal notation such as that of PM) will not help you in the least. You will have to try out various approaches to this peak. Thus you might discover that 8128 is the next perfect number after 496; you might note that none of the perfect numbers you come up with is odd, which is somewhat odd; you might observe that each one you find has the form p(p+1)/2, where p is an odd prime (such as 3, 7, or 31) and p+1 is also a power of 2 (such as 4, 8, or 32); and so forth.

After a while, perhaps a long series of failures to prove Imp would gradually bring you around to suspecting that it is false. In that case, you might decide to switch goals and try out various approaches to the nearby rival peak — namely, Imp’s negation ∼ Imp — which is the statement “There are not infinitely many perfect numbers”, which is tantamount to asserting that there is a largest perfect number (reminiscent of our old friend P, allegedly the largest prime number in the world).

But suppose that through a stunning stroke of genius you discovered a new kind of “Gödel ray” (i.e., some clever new Gödel numbering, including all of the standard Gödel machinery that makes prim numbers dance in perfect synchrony with provable strings) that allowed you to see through to a hidden second level of meaning belonging to Imp — a hidden meaning that proclaimed, to those lucky few who knew how to decipher it, “The integer i is not prim”, where i happened to be the Gödel number of Imp itself. Well, dear reader, I suspect it wouldn’t take you long to recognize this scenario. You would quickly realize that Imp, just like KG, asserts of itself via your new Gödel code, “Imp has no proof in PM.

In that most delightful though most unlikely of scenarios, you could immediately conclude, without any further search through the world of whole numbers and their factors, or through the world of rigorous proofs, that Imp was both true and unprovable. In other words, you would conclude that the statement “There are infinitely many perfect numbers” is true, and you would also conclude that it has no proof using PM’s axioms and rules of inference, and last of all (twisting the knife of irony), you would conclude that Imp’s lack of proof in PM is a direct consequence of its truth.

You may think the scenario I’ve just painted is nonsensical, but it is exactly analogous to what Gödel did. It’s just that instead of starting with an a priori well-known and interesting statement about numbers and then fortuitously bumping into a very strange alternate meaning hidden inside it, Gödel carefully concocted a statement about numbers and revealed that, because of how he had designed it, it had a very strange alternate meaning. Other than that, though, the two scenarios are identical.

Перейти на страницу:

Похожие книги

Хрущёвская слякоть. Советская держава в 1953–1964 годах
Хрущёвская слякоть. Советская держава в 1953–1964 годах

Когда мы слышим о каком-то государстве, память сразу рисует образ действующего либо бывшего главы. Так устроено человеческое общество: руководитель страны — гарант благосостояния нации, первейшая опора и последняя надежда. Вот почему о правителях России и верховных деятелях СССР известно так много.Никита Сергеевич Хрущёв — редкая тёмная лошадка в этом ряду. Кто он — недалёкий простак, жадный до власти выскочка или бездарный руководитель? Как получил и удерживал власть при столь чудовищных ошибках в руководстве страной? Что оставил потомкам, кроме общеизвестных многоэтажных домов и эпопеи с кукурузой?В книге приводятся малоизвестные факты об экономических экспериментах, зигзагах внешней политики, насаждаемых доктринах и ситуациях времён Хрущёва. Спорные постановления, освоение целины, передача Крыма Украине, реабилитация пособников фашизма, пресмыкательство перед Западом… Обострение старых и возникновение новых проблем напоминали буйный рост кукурузы. Что это — амбиции, нелепость или вредительство?Автор знакомит читателя с неожиданными архивными сведениями и другими исследовательскими находками. Издание отличают скрупулёзное изучение материала, вдумчивый подход и серьёзный анализ исторического контекста.Книга посвящена переломному десятилетию советской эпохи и освещает тогдашние проблемы, подковёрную борьбу во власти, принимаемые решения, а главное, историю смены идеологии партии: отказ от сталинского курса и ленинских принципов, дискредитации Сталина и его идей, травли сторонников и последователей. Рекомендуется к ознакомлению всем, кто родился в СССР, и их детям.

Евгений Юрьевич Спицын

Документальная литература
1937. Трагедия Красной Армии
1937. Трагедия Красной Армии

После «разоблачения культа личности» одной из главных причин катастрофы 1941 года принято считать массовые репрессии против командного состава РККА, «обескровившие Красную Армию накануне войны». Однако в последние годы этот тезис все чаще подвергается сомнению – по мнению историков-сталинистов, «очищение» от врагов народа и заговорщиков пошло стране только на пользу: без этой жестокой, но необходимой меры у Красной Армии якобы не было шансов одолеть прежде непобедимый Вермахт.Есть ли в этих суждениях хотя бы доля истины? Что именно произошло с РККА в 1937–1938 гг.? Что спровоцировало вакханалию арестов и расстрелов? Подтверждается ли гипотеза о «военном заговоре»? Каковы были подлинные масштабы репрессий? И главное – насколько велик ущерб, нанесенный ими боеспособности Красной Армии накануне войны?В данной книге есть ответы на все эти вопросы. Этот фундаментальный труд ввел в научный оборот огромный массив рассекреченных документов из военных и чекистских архивов и впервые дал всесторонний исчерпывающий анализ сталинской «чистки» РККА. Это – первая в мире энциклопедия, посвященная трагедии Красной Армии в 1937–1938 гг. Особой заслугой автора стала публикация «Мартиролога», содержащего сведения о более чем 2000 репрессированных командирах – от маршала до лейтенанта.

Олег Федотович Сувениров , Олег Ф. Сувениров

Документальная литература / Военная история / История / Прочая документальная литература / Образование и наука / Документальное
1917: русская голгофа. Агония империи и истоки революции
1917: русская голгофа. Агония империи и истоки революции

В представленной книге крушение Российской империи и ее последнего царя впервые показано не с точки зрения политиков, писателей, революционеров, дипломатов, генералов и других образованных людей, которых в стране было меньшинство, а через призму народного, обывательского восприятия. На основе многочисленных архивных документов, журналистских материалов, хроник судебных процессов, воспоминаний, писем, газетной хроники и других источников в работе приведен анализ революции как явления, выросшего из самого мировосприятия российского общества и выражавшего его истинные побудительные мотивы.Кроме того, авторы книги дают свой ответ на несколько важнейших вопросов. В частности, когда поезд российской истории перешел на революционные рельсы? Правда ли, что в период между войнами Россия богатела и процветала? Почему единение царя с народом в августе 1914 года так быстро сменилось лютой ненавистью народа к монархии? Какую роль в революции сыграла водка? Могла ли страна в 1917 году продолжать войну? Какова была истинная роль большевиков и почему к власти в итоге пришли не депутаты, фактически свергнувшие царя, не военные, не олигархи, а именно революционеры (что в действительности случается очень редко)? Существовала ли реальная альтернатива революции в сознании общества? И когда, собственно, в России началась Гражданская война?

Дмитрий Владимирович Зубов , Дмитрий Михайлович Дегтев , Дмитрий Михайлович Дёгтев

Документальная литература / История / Образование и наука