Читаем I Am a Strange Loop полностью

Gödel further showed that his formula, though very strange and discombobulating at first sight, was not all that unusual; indeed, it was merely one member of an infinite family of formulas that made claims about the system PM, many of which asserted (some truthfully, others falsely) similarly weird and twisty things about themselves (e.g., “Neither I nor my negation is a theorem of PM ”, “If I have a proof inside PM, then my negation has an even shorter proof than I do”, and so forth and so on).

Young Kurt Gödel — he was only 25 in 1931 — had discovered a vast sea of amazingly unsuspected, bizarrely twisty formulas hidden inside the austere, formal, type-theory-protected and therefore supposedly paradoxfree world defined by Russell and Whitehead in their grandiose threevolume œuvre Principia Mathematica, and the many counterintuitive properties of Gödel’s original formula and its countless cousins have occupied mathematicians, logicians, and philosophers ever since.

How to Stick a Formula’s Gödel Number inside the Formula

I cannot leave the topic of Gödel’s magnificent achievement without going into one slightly technical issue, because if I failed to do so, some readers would surely be left with a feeling of confusion and perhaps even skepticism about a key aspect of Gödel’s work. Moreover, this idea is actually rather magical, so it’s worth mentioning briefly.

The nagging question is this: How on earth could Gödel fit a formula’s Gödel number into the formula itself? When you think about it at first, it seems like trying to squeeze an elephant into a matchbox — and in a way, that’s exactly right. No formula can literally contain the numeral for its own Gödel number, because that numeral will contain many more symbols than the formula does! It seems at first as if this might be a fatal stumbling block, but it turns out not to be — and if you think back to our discussion of G. G. Berry’s paradox, perhaps you can see why.

The trick involves the simple fact that some huge numbers have very short descriptions (387420489, for instance, can be described in just four syllables: “nine to the ninth”). If you have a very short recipe for calculating a very long formula’s Gödel number, then instead of describing that huge number in the most plodding, clunky way (“the successor of the successor of the successor of …… the successor of the successor of zero”), you can describe it via your computational shortcut, and if you express your shortcut in symbols (rather than inserting the numeral itself) inside the formula, then you can make the formula talk about itself without squeezing an elephant into a matchbox. I won’t try to explain this in a mathematical fashion, but instead I’ll give an elegant linguistic analogy, due to the philosopher W. V. O. Quine, which gets the gist of it across.

Gödel’s Elephant-in-Matchbox Trick via Quine’s Analogy

Suppose you wanted to write a sentence in English that talks about itself without using the phrase “this sentence”. You would probably find the challenge pretty tricky, because you’d have to actually describe the sentence inside itself, using quoted words and phrases. For example, consider this first (somewhat feeble) attempt:

The sentence “This sentence has five words” has five words.

Now what I’ve just written (and you’ve just read) is a sentence that is true, but unfortunately it’s not about itself. After all, the full thing contains ten words, as well as some quotation marks. This sentence is about a shorter sentence embedded inside it, in quote marks. And changing “five” to “ten” still won’t make it refer to itself; all that this simple act does is to turn my sentence, which was true, into a false one. Take a look:

The sentence “This sentence has ten words” has ten words.

This sentence is false. And more importantly, it’s still merely about a shorter sentence embedded inside itself. As you see, so far we are not yet very close to having devised a sentence that talks about itself.

The problem is that anything I put inside quote marks will necessarily be shorter than the entire sentence of which it is a part. This is trivially obvious, and in fact it is an exact linguistic analogue to the stumbling block of trying to stick a formula’s own Gödel number directly inside the formula itself. An elephant will not fit inside a matchbox! On the other hand, an elephant’s DNA will easily fit inside a matchbox…

Перейти на страницу:

Похожие книги

Хрущёвская слякоть. Советская держава в 1953–1964 годах
Хрущёвская слякоть. Советская держава в 1953–1964 годах

Когда мы слышим о каком-то государстве, память сразу рисует образ действующего либо бывшего главы. Так устроено человеческое общество: руководитель страны — гарант благосостояния нации, первейшая опора и последняя надежда. Вот почему о правителях России и верховных деятелях СССР известно так много.Никита Сергеевич Хрущёв — редкая тёмная лошадка в этом ряду. Кто он — недалёкий простак, жадный до власти выскочка или бездарный руководитель? Как получил и удерживал власть при столь чудовищных ошибках в руководстве страной? Что оставил потомкам, кроме общеизвестных многоэтажных домов и эпопеи с кукурузой?В книге приводятся малоизвестные факты об экономических экспериментах, зигзагах внешней политики, насаждаемых доктринах и ситуациях времён Хрущёва. Спорные постановления, освоение целины, передача Крыма Украине, реабилитация пособников фашизма, пресмыкательство перед Западом… Обострение старых и возникновение новых проблем напоминали буйный рост кукурузы. Что это — амбиции, нелепость или вредительство?Автор знакомит читателя с неожиданными архивными сведениями и другими исследовательскими находками. Издание отличают скрупулёзное изучение материала, вдумчивый подход и серьёзный анализ исторического контекста.Книга посвящена переломному десятилетию советской эпохи и освещает тогдашние проблемы, подковёрную борьбу во власти, принимаемые решения, а главное, историю смены идеологии партии: отказ от сталинского курса и ленинских принципов, дискредитации Сталина и его идей, травли сторонников и последователей. Рекомендуется к ознакомлению всем, кто родился в СССР, и их детям.

Евгений Юрьевич Спицын

Документальная литература
1937. Трагедия Красной Армии
1937. Трагедия Красной Армии

После «разоблачения культа личности» одной из главных причин катастрофы 1941 года принято считать массовые репрессии против командного состава РККА, «обескровившие Красную Армию накануне войны». Однако в последние годы этот тезис все чаще подвергается сомнению – по мнению историков-сталинистов, «очищение» от врагов народа и заговорщиков пошло стране только на пользу: без этой жестокой, но необходимой меры у Красной Армии якобы не было шансов одолеть прежде непобедимый Вермахт.Есть ли в этих суждениях хотя бы доля истины? Что именно произошло с РККА в 1937–1938 гг.? Что спровоцировало вакханалию арестов и расстрелов? Подтверждается ли гипотеза о «военном заговоре»? Каковы были подлинные масштабы репрессий? И главное – насколько велик ущерб, нанесенный ими боеспособности Красной Армии накануне войны?В данной книге есть ответы на все эти вопросы. Этот фундаментальный труд ввел в научный оборот огромный массив рассекреченных документов из военных и чекистских архивов и впервые дал всесторонний исчерпывающий анализ сталинской «чистки» РККА. Это – первая в мире энциклопедия, посвященная трагедии Красной Армии в 1937–1938 гг. Особой заслугой автора стала публикация «Мартиролога», содержащего сведения о более чем 2000 репрессированных командирах – от маршала до лейтенанта.

Олег Федотович Сувениров , Олег Ф. Сувениров

Документальная литература / Военная история / История / Прочая документальная литература / Образование и наука / Документальное
1917: русская голгофа. Агония империи и истоки революции
1917: русская голгофа. Агония империи и истоки революции

В представленной книге крушение Российской империи и ее последнего царя впервые показано не с точки зрения политиков, писателей, революционеров, дипломатов, генералов и других образованных людей, которых в стране было меньшинство, а через призму народного, обывательского восприятия. На основе многочисленных архивных документов, журналистских материалов, хроник судебных процессов, воспоминаний, писем, газетной хроники и других источников в работе приведен анализ революции как явления, выросшего из самого мировосприятия российского общества и выражавшего его истинные побудительные мотивы.Кроме того, авторы книги дают свой ответ на несколько важнейших вопросов. В частности, когда поезд российской истории перешел на революционные рельсы? Правда ли, что в период между войнами Россия богатела и процветала? Почему единение царя с народом в августе 1914 года так быстро сменилось лютой ненавистью народа к монархии? Какую роль в революции сыграла водка? Могла ли страна в 1917 году продолжать войну? Какова была истинная роль большевиков и почему к власти в итоге пришли не депутаты, фактически свергнувшие царя, не военные, не олигархи, а именно революционеры (что в действительности случается очень редко)? Существовала ли реальная альтернатива революции в сознании общества? И когда, собственно, в России началась Гражданская война?

Дмитрий Владимирович Зубов , Дмитрий Михайлович Дегтев , Дмитрий Михайлович Дёгтев

Документальная литература / История / Образование и наука