Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

В искривленном пространстве-времени способ измерения расстояний между мировыми точками такой же, как в плоском в криволинейных координатах – с помощью элемента интервала. Разница в том, что для пространства Минковского возможен переход от g_ab к простому диагональному виду _ab во всем пространстве-времени, а для искривленного – нет. Однако в малой окрестности отдельного свободно падающего наблюдателя такой переход возможен. Ведь согласно слабому принципу эквивалентности он ощущает себя в инерциальной системе отсчета! Искривление не позволяет связывать мировые точки прямыми, поэтому мировые линии (геодезические или нет), соединяющие события, будут в общем случае кривыми. Их длина вычисляется с помощью бесконечно малых элементов интервала и последующего интегрирования.

Как элемент интервала, так и длина мировых линий (их полный интервал), также являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.

Пространственно-временные измерения и фиксация метрических свойств осуществляются также с помощью света. Скорость света не зависит от скорости излучателей, а для каждого локального наблюдателя, измеренная в его собственной системе отсчета, имеет одно и то же стандартное значение c. При измерениях самым важным является то, что для света элемент интервала ds в силу инвариантности всегда равен нулю.

Если в наше время спросить даже не самого сведущего, но все-таки образованного, человека: уравнения Эйнштейна – это уравнения чего? С большой вероятностью получишь ответ, что это уравнения гравитационного поля. А что такое гравитационное поле мы фактически только что рассказали – это поле метрики g_ab, или метрического тензора.

Именно это поле дает возможность построить величины, определяющие искривление пространства-времени. Тензорное поле определяется аналогично тому, как определяются скалярное и векторное поля. Задать поле метрического тензора означает, что в каждой мировой точке пространства-времени нужно задать набор функций, каждая из которых соответствует одной из компонент матрицы, представляющей этот тензор.

Решить уравнения Эйнштейна – это значит найти коэффициенты g_ab. Но гравитационные уравнения должны решаться вместе с уравнениями для материи, состояние и движение которой также должны стать известными, как результат найденного решения. Также часто решают гравитационные уравнения в вакууме, то есть для областей пространства-времени, где нет материи. Тогда задачей является определить только метрику g_ab, анализ которой даст всю информацию об искривлении пространства-времени, его геодезических и т. д. Решение уравнений ОТО с большими деталями обсуждается в Дополнении 4.

После того как решение уравнений ОТО найдено, необходимо обратиться к принципам соответствия, которые были определены в конце предыдущего параграфа. Первый из них касается соответствия теории гравитации Ньютона. Принцип звучит четко и довольно жестко. Но так и должно быть, если мы не хотим ошибиться в интерпретации решений новой теории. Теория Ньютона в данном случае играет роль критерия.

Уже сейчас очень полезно для последующего изложения записать простые формулы этого соответствия. Мы уже говорили, что гравитация Ньютона представлена скалярным полем (потенциалом) . Для точечной массы M (или сферически распределенного вещества) скалярное поле вне вещества определяется как = – GM/r, где r – расстояние до центра тела. Тогда сила, действующая на тело массы m в этом потенциальном поле, определяется стандартной формулой закона всемирного тяготения:

Движение тел в таком поле хорошо изучено. Как найти соответствие с движением тел в ОТО? Для этого нужно найти пространство-время, геодезические которого, в приближении малых скоростей и слабого поля , соответствуют движению тел в теории Ньютона. Такое пространство-время легко находится, его метрика в обсуждаемом приближении имеет в сферических координатах простую форму:

В силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. Эту метрику иногда называют метрикой «пространства-времени Ньютона». Здесь g₀₀ = 1 + 2j/c² = 1–2GM/rc². Если нет тяготеющего центра, т. е. масса M = 0, то поле  исчезает и метрика обращается в метрику пространства Минковского.

Этим мы отметили соответствие для движения тел в теории Ньютона и ОТО. Но также необходимо показать, что для слабых гравитационных полей и малых скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона. Но что такое уравнения тяготения Ньютона? Очевидно, что это должны быть уравнения для поля . Здесь приходится идти обратным путем. Мы знаем, какое поле создается каждой отдельной частицей. Если у нас имеется произвольное распределение плотности вещества в пространстве, то для каждой точки нужно выписать соответствующее значение . А общее поле в каждой точке пространства просто сложится из всех отдельных . Тогда получится, что поле в каждой точке удовлетворяет уравнению: