Гейзенберг. Принцип неопределенности

Вместе с новым ассистентом Паскуалем Йорданом Борн изложил теорию Гейзенберга на языке матриц. В объемной статье исследователи объяснили матричные методы и адаптировали их к квантовой физике. Кроме того, они переопределили переменные и функции классической механики с помощью квантовых матриц и обнаружили матричные аналоги почти для всех уравнений механики. Взяв за основу абстрактные матричные выражения, Борн и Йордан получили формулы расчета энергии стационарных состояний. Все это позволило «ожидать, что на основе новой теории будут сформулированы четкие физические законы». Борн и Йордан обнаружили крайне любопытное соотношение между матрицами, обозначающими положение и импульс частицы. Напомним, что импульс равен произведению массы на скорость, и в классической механике высокого уровня использовать импульс удобнее, чем скорость. Как правило, положение частицы и ее импульс обозначаются буквами q (вместо х, которую мы использовали до этого) и р соответственно. Обозначив соответствующие матрицы заглавными буквами, Борн и Йордан записали найденное ими соотношение следующим образом:

Q•P-P•Q = ihI,

где i = sqrt(-1) – мнимая единица, h = h/2π – редуцированная постоянная Планка, I- единичная матрица. Элементы единичной матрицы, расположенные на главной диагонали, равны единице, все прочие – нулю. Это соотношение любопытно тем, что в нем присутствует число i. Оно было описано в XIX веке Коши и Гауссом и иногда используется в физике для упрощения некоторых формальных расчетов, однако в этой формуле мнимая единица появилась совершенно неожиданно, и в этом – еще одна особенность квантовой механики.

Матрицы

Матрица – это таблица с числами, которые обозначаются двумя индексами: первый указывает строку, в которой находится число, второй – столбец. К примеру, квадратная матрица из двух строк и двух столбцов выглядит так:

Сложение и вычитание матриц интуитивно понятны: для этого нужно почленно сложить или вычесть элементы исходных матриц. Произведение матриц рассчитывается по особому правилу:

При умножении матриц порядок множителей, в общем случае, влияет на конечный результат. К примеру, произведения матриц

равны

Эти матрицы различаются между собой. Разностью этих произведений будет матрица

В общем случае, в квантовой механике используются квадратные матрицы бесконечной размерности, то есть имеющие бесконечное число строк и столбцов.

В сентябре Борн и Йордан отправили копию своей работы Гейзенбергу, который к тому времени уже находился в Копенгагене. Молодой ученый показал работу Бору со словами: «Здесь полно матриц, и я не представляю, что они означают». В результате Гейзенбергу пришлось срочно изучить матричную алгебру. Стремясь сформулировать новую механику, он переписывался с Борном и Йорданом. Результатом совместной работы стала статья под названием «О квантовой механике, часть II», законченная в ноябре 1925 года и подписанная Борном, Гейзенбергом и Йорданом в алфавитном порядке. Это была знаменитая Dreimannerarbeit («работа трех») с изложением основ новой теории на языке математических выкладок. В статье были по-новому сформулированы начальные постулаты квантовой теории: в ней описывалось существование стационарных энергетических состояний атомов и квантовые скачки между состояниями, сопровождающиеся излучением или поглощением света. Авторы называли свою теорию «истинной теорией дискретного». Она позволяла провести все необходимые расчеты для любой системы с периодическим движением и описать свойства атомов с помощью новой матричной механики.

Многие физики отнеслись к матричной механике прохладно; собственно, большинство из них даже не знали, что такое матрица. Эйнштейн писал своему другу Мишелю Бессо: