Физика времени

Об Ахиллесе и черепахе вспоминает Лев Толстой в «Войне и мире». Он рассуждает об историческом развитии, о законах «исторического движения» и говорит про «неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения». Он полагает, что об этом «софизме древних» полезно и поучительно подумать и историкам. «Для человеческого ума, — пишет Толстой, — непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из–за этого-то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений». Толстой полагает, что «новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно малыми величинами, и в других, более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми» (том третий, часть третья, глава первая). Он тоже, как видно, полагал, что все дело в суммировании бесконечных рядов, и вместе с тем говорил о неизбежной ошибке, «которую ум человеческий не может не делать...».

Задумаемся над тем, что предлагает нам Зенон. Если Ахиллес пробегает один за другим все отрезки пути, как предписывает ему Зенон, то бегун выполняет бесконечное число действий, — ведь мы видели, что этих отрезков бесконечное число. Можно ли выполнить бесконечное число действий за конечное время? Если да, черепаху можно догнать, если же нет…

Зенон заставляет рассуждать о бесконечностях. А наш ум не очень уверенно обходится с ними. При неосторожном обращении бесконечности вполне способны сбить с толку, привести к абсурдным выводам.

Да, кажется нам, как же это может быть — бесконечное число действий за конечное время. Это трудно себе представить… Скорее, это невозможно. Но ведь тогда мы должны сдаться и согласиться с Зеноном: он прав — черепаху не догнать.

А как мы решили бы эту задачу в школе? Очень просто. Скорость черепахи — это, скажем, 1 сантиметр в секунду. Ахиллес — хороший бегун, пусть его скорость в тысячу раз больше, что близко к мировому рекорду на стометровой дистанции. Наконец, пусть расстояние между ними в начальный момент составляет 50 метров. Сколько времени Ахиллесу понадобится, чтобы догнать черепаху?

Это время получается делением исходного расстояния на разность скоростей бегуна и черепахи. Ответ: Ахиллес догонит черепаху приблизительно через 5 секунд. Или через 5,005005 секунды — с точностью до шестого знака после запятой.

Никаких бесконечностей в школьной задаче не возникает. Нам не пришлось суммировать «бесконечные числовые ряды». Да разве мы сомневались, что Ахиллесу ничего не стоит догнать черепаху?

Зенон ставит вопросы, задевающие нас за живое. Он знает, как возбудить наш протест против абсурда и заставить думать о том, в чем ум теряется и склонен впадать в заблуждение.

Мгновение и длительность

В апории «Ахиллес и черепаха» (да, по существу, и в «Стреле» тоже) речь идет о дроблении пути и времени на малые отрезки и кратчайшие мгновения. Но можно ли вообще делить пространство и время на сколь угодно мелкие доли? Возможно ли их неограниченное, бесконечное дробление?

Приведем еще одну апорию Зенона, которая называется «Дихотомия» (дихотомия по-гречески значит деление на два).

«Наше движение никогда не может начаться, так как, прежде чем пройти какое-то расстояние, мы должны пройти сначала его половину. А чтобы пройти половину, нужно прежде преодолеть четверть и так далее до бесконечности. Следовательно, для того чтобы пройти какое-то расстояние за конечное время, нам нужно осуществить за это время бесконечное число действий». Последнее отвергается как невозможное, но тогда невозможно и движение.

Это похоже на историю с Ахиллесом и черепахой. В обоих случаях возникает бесконечное число все более мелких отрезков пути и промежутков времени. Бесконечностей, очевидно, не возникло бы, если бы такому дроблению существовал предел.

Но что означала бы невозможность беспредельного дробления? Для времени это означало бы, что существуют его неделимые «крупицы», атомы времени.

Если так, то дробление времени, а с ним и пути, должно происходить не до бесконечности. Тогда речь в апориях должна идти о выполнении за конечное время конечного (хотя, может быть, и большого) числа действий. Против этого, кажется, наш ум не восстает, мы не чувствуем себя сбитыми с толку, и апории, так сказать, разряжаются, с них «снимается высокое напряжение».

Но и независимо от апорий очень важно и интересно узнать, атомарно ли время или оно непрерывно делимо (мы вернемся к этому в главах 12, 13). Но в чем же урок Зенона?

Зенон не собирается, в самом деле, отрицать достоверность движения. Он ищет сущность очевидных явлений и стремится выразить ее в ясных и точных понятиях. И здесь он делает важнейшее открытие: он открывает противоречие. Противоречие, лежащее в самой природе движения.