Физика времени

Описывать полет стрелы, снаряда, камня, мяча, имеющих в начале движения такую-то скорость, направленную под таким-то углом к горизонту, мы учимся в школе на уроках физики. Мы узнаём, что горизонтальная составляющая скорости при полете тела не меняется — в пренебрежении, конечно, сопротивлением воздуха. Направленная же вверх вертикальная составляющая скорости убывает из-за действия силы тяжести. В верхней точке пути она обращается в нуль. Затем вертикальная составляющая скорости растет по величине — тоже из-за силы тяжести, но теперь она направлена не вверх, а вниз. Исходя из этих соображений, мы легко можем подсчитать и дальность полета стрелы, и максимальную высоту ее подъема, и скорость в каждой точке пути — все, что ни пожелаем. При таком способе действий нас не подстерегают никакие тупики и головоломки. А если у нас к тому же имеется не очень сложное измерительное оборудование, то мы можем провести прямой эксперимент с полетом стрелы. Можем определить, измерить в таком эксперименте все интересующие нас величины и тем самым проверить расчет, проделанный при решении задачи. Можно не сомневаться, что здесь все будет в порядке.

Собеседники Зенона не знали того, что знает сейчас школьник. Динамики, физической науки о движениях тел под действием приложенных к ним сил, тогда еще не существовало. Что могли они противопоставить загадкам Зенона? Прежде всего, сам очевидный факт движения. Вот стихотворение А.С.Пушкина «Движение» — о Зеноне и его собеседниках:

«Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.»

Галилей прав в отстаивании взглядов Коперника на устройство Солнечной системы. И очевидность — это и вправду еще далеко не все. Движение, бесспорно, существует, но что в действительности стоит за наблюдаемой нами картиной? Даже описав самым исчерпывающим образом полет стрелы с помощью динамики, мы еще не знаем, что ответить Зенону.

Зенон предлагает нам рассуждать о движении с помощью наглядных, простых и очевидных образов — мгновение, положение в каждое мгновение и т. д. Мы, не подозревая подвоха, следуем за ним… и оказываемся в тупике. Но, видимо, сами эти образы хороши не всегда; они могут указывать только какие-то отдельные свойства движения, но, как демонстрирует нам Зенон, иногда не «работают». Они могут оказаться недостаточными и даже обманчивыми, вводящими в заблуждение.

Разгадать загадку Зенона, пользуясь им самим предложенными образами, кажется, невозможно. Хоть этому занятию и предавались вслед за ним лучшие умы многих поколений. Но как представить себе движение, составленное из неподвижностей? Да и состоит ли оно из них на самом деле?

Ахиллес и черепаха

Вот еще одна апория Зенона — «Ахиллес и черепаха». Приводим ее в изложении Симплиция, ученого VI века нашей эры.

«…речь идет об Ахиллесе, который, как гласит этот довод, не может догнать черепаху, которую он преследует. Ибо догоняющий должен, прежде чем он догонит преследуемого, достигнуть точки, из которой преследуемый начал свое движение. Но за время, необходимое преследователю для достижения этой точки, преследуемый, воспользовавшись этим, пройдет еще какое-то расстояние. Даже если это расстояние меньше расстояния, пройденного преследователем, поскольку преследуемый движется медленнее, все же он продвинется вперед, так как не стоит на месте…

Таким образом, в течение каждого периода времени, за который преследователь покрывает расстояние, уже пройденное преследуемым, … преследуемый пройдет еще дальше вперед на какое-то расстояние; и хотя это расстояние постепенно уменьшается в силу того, что преследующий имеет более высокую скорость, оно представляет собой продвижение на какую-то положительную величину…» Между Ахиллесом, как бы быстро он ни бежал, и черепахой всегда останется промежуток — он не догонит ее.

Эта апория вызывала и до сих пор вызывает, пожалуй, еще больше споров, чем «Стрела». Приведем некоторые высказывания о ней, принадлежащие историкам, философам, математикам нашего времени (они собраны в книге Дж. Уитроу — см. список литературы в конце книги).

«… знаменитая апория, которая оказала громадное влияние на развитие науки».

«Эта весьма бесхитростная уловка вовсе не представляет трудностей для ума, должным образом подготовленного в логике и математике».

«Это очень старая и, на мой взгляд, глупая проблема».

«Это неиссякаемая по своей глубине проблема привлекает внимание многих блестящих умов».

«Зенон совершил математическую ошибку, обусловленную его незнанием бесконечных числовых рядов».