Физика в примерах и задачах

=

h

.

(5)

Поскольку фотон не существует в состоянии покоя, то его масса покоя m равна нулю, а импульс в силу соотношений (4) и (5) даётся выражением

p

=

h

c

.

(6)

Фундаментальным законом физики микромира являются соотношения неопределённостей Гейзенберга, которые связывают между собой неопределённости в значениях какой-либо координаты частицы x и соответствующей проекции импульса p_x в один и тот же момент времени:

x

·

p

_x

h

.

(7)

Невозможность приписать микрочастице одновременно точные значения координаты и соответствующей проекции импульса связана с проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы микрообъектов. Волновые свойства микрообъектов характеризуются так называемой длиной волны де-Бройля , которая обратно пропорциональна импульсу частицы:

=

h

p

.

(8)

Корпускулярно-волновой дуализм заключается в том, что любая частица - фотон, электрон, протон, атом и т.д. - обладает потенциальной возможностью проявлять и корпускулярные, и волновые свойства, но ни в одном явлении они никогда не проявляются одновременно.

1. Принцип относительности.

Шарик массы m на нити длиной l висит неподвижно в однородном поле тяжести напряжённости g. В некоторый момент времени точка подвеса начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v (рис. 1.1). Как при этом будет двигаться шарик?

Рис. 1.1. В некоторый момент точка подвеса приводится в движение с постоянной скоростью v

Условие этой задачи очень простое, однако на первый взгляд совершенно не ясно, как к ней подступиться. С одной стороны, очевидно, что движение такой механической системы подчиняется законам классической механики Ньютона. С другой стороны, непонятно, как эти законы можно здесь применить.

Подсказкой к нахождению пути решения этой задачи может послужить то обстоятельство, что она помещена в разделе «Релятивистская и квантовая физика». То, что квантовая физика здесь ни при чем, сомнений не вызывает, поэтому остаётся выяснить, какое отношение может иметь эта задача, в которой рассматривается движение с заведомо нерелятивистскими скоростями, к теории относительности. Оказывается, что и к теории относительности эта задача тоже отношения не имеет. Но вот принцип относительности, лежащий в основе этой теории, причём в своей классической форме, сформулированный ещё Галилеем, имеет к этой задаче самое непосредственное отношение. Его использование позволяет сразу свести эту задачу к другой, хорошо известной.

Согласно принципу относительности Галилея законы, описывающие механические явления, во всех инерциальных системах отсчёта одинаковы. При решении данной задачи удобно перейти в систему отсчёта, в которой точка подвеса неподвижна. Так как в исходной (лабораторной) системе отсчёта точка подвеса движется с постоянной скоростью v, то новая система отсчёта также является инерциальной. Однако в этой системе движение шарика на нити выглядит уже довольно просто: точка подвеса нити всё время неподвижна, а самому шарику в начальный момент времени сообщается скорость -v, направленная по горизонтали направо (рис. 1.2). Разумеется, и в новой системе отсчёта на шарик тоже действует поле тяготения напряжённости g.

Рис. 1.2. В системе отсчёта, где точка подвеса неподвижна, шарик в начальный момент имеет скорость -v

В системе отсчёта, связанной с точкой подвеса, дальнейшее движение шарика будет происходить по-разному в зависимости от его начальной скорости. При небольшой начальной скорости система будет вести себя как математический маятник, совершающий малые почти гармонические колебания вблизи вертикального положения равновесия:

(t)

=

sin t

.

(1)

Частота равна частоте собственных колебаний математического маятника длины l: ^2=g/l. Выбор начальной фазы колебаний в уравнении (1) соответствует тому, что при t=0 маятник расположен вертикально и =0. Амплитуда колебаний также находится из начальных условий. Так как согласно формуле (1) угловая скорость маятника равна

(t)

=

cos t

,

(2)

то линейная скорость шарика при t=0 равна l. Приравнивая её начальной скорости v, находим угловую амплитуду :

=

v

l

.

(3)

Такое гармоническое колебательное движение маятника происходит только при небольшой амплитуде 1, т.е., как видно из формулы (3), при

v

l

=

gl

.

Если начальная скорость v не очень мала, т.е. не удовлетворяет приведённому неравенству, то колебания маятника будут происходить с большой амплитудой и уже не будут гармоническими. Но амплитуда колебаний, разумеется, не может превышать значения =/2. При такой амплитуде шарик в крайних положениях поднимается до уровня точки подвеса. Этому соответствует, как легко убедиться с помощью закона сохранения энергии, значение начальной скорости v=2gl. Если же начальная скорость больше этого значения, то шарик поднимется выше точки подвеса, однако он будет двигаться по окружности только до тех пор, пока сила натяжения нити не обратится в нуль. Начиная с этой точки, гибкая нить не влияет на движение шарика, и он движется свободно в поле тяжести по параболе, пока нить снова не вытянется на всю длину.