Физика пространства - времени

Решение. Выберем эти два заслуживающих внимания события таким образом. 𝐴: Один конец метрового стержня пролетает мимо некоторых лабораторных часов в тот момент, когда они показывают полдень. 𝐵: Другой конец метрового стержня пролетает мимо других лабораторных часов, когда они тоже показывают полдень. Обсуждение. Положения концов движущегося метрового стержня необходимо измерять в один и тот же момент времени в лабораторной системе отсчёта. В противном случае мы не смогли бы разумно определить ту пару точек в лаборатории, длину расстояния между которыми мы измеряем. Итак, оба события должны быть одновременными в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=0). Они могут быть одновременными, а могут и не быть в системе отсчёта ракеты (Δ𝑡' может равняться или не равняться нулю) — это там несущественно! Ведь в системе отсчёта ракеты метровый стержень неподвижен, и там положение его концов можно определять в любое время.

б) Пусть метровый стержень ориентирован вдоль оси 𝑥 (направления движения) ракеты, так что в системе отсчёта ракеты расстояние между его концами равно Δ𝑥'=1 м. Чему будет равна его наблюдаемая длина в лабораторной системе отсчёта?

Решение. Искомая длина —это разделение в пространстве пары событий 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта:

Δ

𝑥

=

Δ𝑥'

ch θ_𝑟

=

Δ

𝑥'

⋅

√

1-β

_𝑟

²

.

(38)

Эта длина меньше 1 м. Такое укорачивание называется лоренцевым сокращением. Обсуждение. Преобразование Лоренца (37) связывает между собой разности координат событий в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты:

Δ

𝑥'

=

Δ

𝑥 ch θ

_𝑟

-

Δ

𝑡 sh θ

_𝑟

,

Δ

𝑡'

=

-

Δ

𝑥 sh θ

_𝑟

+

Δ

𝑡 ch θ

_𝑟

,

Δ

𝑦'

=

Δ

𝑦,

Δ

𝑧'

=

Δ

𝑧.

(39)

Наши события одновременны в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=0). Отсюда Δ𝑥'=Δ𝑥 ch θ_𝑟, что и даёт приведённый ответ. Заметим, что Δ𝑡' не равняется нулю, т.е. события 𝐴 и 𝐵 не одновременны, если их рассматривать в системе отсчёта ракеты. Эта разница во времени между двумя событиями на концах метрового стержня не вызывает недоумения у работников на ракете относительно значения длины их метрового стержня: для них он покоится, и длина его 1 м. Их не удивляет и тот факт, что наблюдатели в лаборатории регистрируют укорочение этой длины («лоренцево сокращение»). Они скажут: «А почему бы и нет? Ведь наблюдатели в лаборатории измеряют положения концов метрового стержня во времена 𝑡_𝐴' и 𝑡_𝐵', а мы знаем, что эти времена различны. Интересно, как бы им удалось при этом заключить, что длина равна 1 м?»

в) Пусть метровый стержень направлен вдоль оси 𝑦 (перпендикулярно направлению движения) в системе отсчёта ракеты, так что расстояние между его концами в этой системе равно Δ𝑦'=1 м. Чему равна длина стержня, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта?

Решение. Длина есть величина пространственного удаления друг от друга двух событий (𝐴 и 𝐵) лабораторной системе; при этом

Δ

𝑦

=

Δ

𝑦'

.

Эта длина равна 1 м. В направлениях, перпендикулярных движению, размеры тел не сокращаются. Обсуждение. Отметим, что оба события теперь одновременны не только в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=0), но и в системе отсчёта ракеты (Δ𝑡'=0), согласно соотношениям (39). Для работников на ракете поэтому нет ничего странного в том, что наблюдатели в лаборатории будут согласны с ними относительно длины метрового стержня.

г) Вернёмся ещё раз к вопросу (б). Как можно принять тот вывод, что метровый стержень, летящий с ракетой, представляется короче одного метра длины в лаборатории находящимся там наблюдателям? Если бы этот вывод был верен, не получили бы мы возможности различать по физическим законам систему отсчёта ракеты (в которой метровые стержни сохраняют свою стандартную длину) от лабораторной системы отсчёта (где те же самые стержни регистрируются как укороченные)? Но если это так, то не разрушает ли логика рассуждений теории относительности того принципа, который лежит в её же основе? Этот принцип утверждает, что между двумя инерциальными системами отсчёта нельзя провести никаких различий на основании физических наблюдений в этих системах? Но разве мы не обнаружили в высшей степени замечательное физическое различие между такими двумя системами?

Рис. 36. Поле, простирающееся на большее расстояние в направлении 𝑥, чем в направлении 𝑥'.