Физика пространства - времени

На языке параметра скорости можно сказать, что ракета обладает конечным параметром скорости θ_𝑟, тогда как величина параметра скорости фотона (β=1) бесконечна (θ'=∞; см. асимптотическую часть кривой в верхней правой части рис. 31). Прибавьте к бесконечности конечное число, и вы получите снова бесконечность в качестве суммы θ=θ'+θ_𝑟. Поэтому скорость фотона в лабораторной системе отсчёта равна β=th θ=th ∞=1, т.е. это снова скорость света. Мы замкнули круг, вновь вернувшись к идее, лежащей в основании теории относительности: скорость света имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта.

Простота описания движения с помощью параметра скорости

Мы пришли к заключению, что естественной характеристикой движения является параметр скорости, подчиняющийся простому закону сложения: θ=θ'+θ_𝑟. Но почему же наша интуиция не подсказала нам сразу идеи введения этого параметра? Почему гиперболические углы не знакомы всякому школьнику так же хорошо, как обычные углы? Ответ ка это прост. Обыденный опыт сталкивает нас со всякими углами — и большими, и малыми. Поэтому не найдётся простачка, который стал бы, складывая наклоны 𝑆'=1 (угол в 45°) и 𝑆_𝑟=1 (ещё раз 45°), утверждать, что он получит наклон, равный 𝑆=𝑆'+𝑆_𝑟=2 (т.е. угол в 63°26', что неверно!). Все знают, что правильный путь — это складывать углы (сумма в нашем примере равна 45°+ 45°=90°, чему соответствует наклон 𝑆=∞). Но обыденный опыт не сталкивает нас со скоростями, близкими к скорости света. Автомобили, реальные ракеты и реальные пули движутся со скоростями, крайне малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому и потребовалось долгое время, пока люди не узнали истинной физики пространства-времени. Но теперь, наконец, мы поняли разницу природы закона сложения скоростей [громоздкое уравнение (24)] и закона сложения параметров скорости [простое уравнение (21): θ=θ'+θ_𝑟]. Более того, те наблюдения, которые прежде обескураживали (например, равенство величины скорости света во всех системах отсчёта), стали описываться очень просто на языке параметра скорости. К тому же этот параметр, как и всё, что входит вместе с ним в пространственно-временную структуру физики, совершенно необходим. Если вы хотите описать природу физического мира такой, какая она на самом деле у этого четырёхмерного мира, то у вас нет никакого другого выбора, кроме описанных выше идей. Эта железная необходимость становится всё очевиднее по мере того, как в обиход нашей цивилизации, нашей индустрии входят электронные и ядерные установки, а вместе с ними — сверхбыстрые частицы.

Обходного пути нет! Параметр скорости — такой же простой способ для описания скорости движения, как обычный угол — для описания наклона. Но, согласившись с этим выводом, какую выгоду извлечём мы, пытаясь упростить формулы преобразования Лоренца?

У прощение эвклидова преобразования поворота путём введения угла

Для того чтобы сориентироваться в этом вопросе, рассмотрим сначала аналогичную задачу в эвклидовой геометрии на плоскости 𝑥𝑦. Станет ли формула (19), выражающая одну систему координат через другую,

Δ

𝑥

=

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑥'

+

𝑆

_𝑟

•

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑦'

,

Δ

𝑦

=-

𝑆

_𝑟

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑥'

+

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑦'

,

менее сложной, если выразить относительный наклон 𝑆_𝑟 осей 𝑦 и 𝑦' через обычный угол θ_𝑟? Ответ: коэффициенты в преобразовании поворота принимают вид

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

(1+tg²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

=

=

⎛

⎜

⎝

cos²θ_𝑟+sin²θ_𝑟

cos²θ_𝑟

⎞

⎟

⎠

⁻¹^/²

=

⎛

⎜

⎝

1

cos²θ_𝑟

⎞

⎟

⎠

⁻¹^/²

=

cos θ

_𝑟

.

и

𝑆

_𝑟

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

tg θ

_𝑟

•

cos θ

_𝑟

=

=

sin θ_𝑟

cos θ_𝑟

=

sin θ

_𝑟

.

Поэтому формулы преобразования переходят в

Δ

𝑥

=

Δ

𝑥'

•

cos θ

_𝑟

+

Δ

𝑦'

•

sin θ

_𝑟

,

Δ

𝑦

=-

Δ

𝑥'

•

sin θ

_𝑟

+

Δ

𝑦'

•

cos θ

_𝑟

,

(29)

и мы можем заключить, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наипростейший вид, если коэффициенты в ковариантных преобразованиях выразить через «тригонометрические», или «круговые», функции угла поворота.

Упрощение формул преобразования Лоренца путём введения параметра скорости

Обратимся теперь к формулам преобразования Лоренца, записанным через относительную скорость:

Δ

𝑥

=

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑥'

+

β

_𝑟

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑡'

,

Δ

𝑡

=

β

_𝑟

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑥'

+

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑡'

.

Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость β_𝑟 через «улучшенную» характеристику движения θ_𝑟? Ответ таков. Вспомним, что скорость и параметр скорости связаны между собой соотношением

β

_𝑟

=

th θ

_𝑟

.

Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от β_𝑟 и тем самым от θ_𝑟. Эти коэффициенты равны

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

(1-th²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

(30)

и

β

_𝑟

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

th θ

_𝑟

•

(1-th²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

.

(31)