Физика пространства - времени

Согласно условию задачи, Δ𝑥'=0, а Δ𝑡'≠0. Расстояние между двумя событиями в лабораторной системе отсчёта можно вычислить по формуле преобразования Лоренца

Δ

𝑥

=

0

+

Δ

𝑡'

sh

 

θ

_𝑟

.

От нас требуется «измерить» время, прошедшее между этими событиями в лабораторной системе, разделив полученное выше расстояние на скорость движения обеих систем друг относительно друга:

Δ

𝑡

=

Δ𝑥

β_𝑟

=

Δ𝑥

th θ_𝑟

=

Δ

𝑡'

ch

 

θ

_𝑟

Это и есть формула, описывающая замедление хода часов (44). ▲

15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах

Просто подставим в формулы (37) 𝑡=𝑡_сек/𝑐 и β_𝑟=𝑣_𝑟/𝑐. Обратные преобразования [(36) или (16)] примут тогда вид

𝑥

=

𝑥'

ch

 

θ

_𝑟

+

𝑐𝑡

_сек

'



sh

 

θ

_𝑟

𝑥'+𝑣_𝑟 𝑡_сек'

√1-(𝑣_𝑟/𝑐)²

,

𝑡

_сек

'

+

𝑣

_𝑟

𝑥'

𝑡

_сек



=

𝑥'

sh

 

θ

_𝑟

+

𝑡

_сек

'



ch

 

θ

_𝑟

=

𝑐²

,

𝑐

√

1-(𝑣

_𝑟

/𝑐)²

▲

16. Вывод формул преобразования Лоренца

Из первого предположения следует условие 𝑎+𝑏=𝑒+𝑓, из второго — условие 𝑏-𝑎=𝑒-𝑓, а третье предположение даёт β_𝑟=𝑏/𝑓. В совокупности из полученных трёх условий найдём 𝑓/𝑎=1, 𝑏/𝑎=𝑒/𝑎=β_𝑟. Подставляя эти значения коэффициентов в исходные формулы для 𝑥 и 𝑡, запишите условие инвариантности интервала. Отсюда следует 𝑎=(1-β_𝑟²)⁻¹^/². Полученные формулы преобразования совпадают с (16). ▲

17. Собственная длина и собственное время

а) Направьте ось 𝑥' вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте предположение, что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят одновременно. Тогда преобразование Лоренца даёт

Δ

𝑡'

=

0

=-

Δ

𝑥

sh



θ

_𝑟

+

Δ

𝑡

ch



θ

_𝑟

,

откуда

shθ_𝑟

chθ_𝑟

=

th



θ

_𝑟

=

β

_𝑟

=

Δ𝑡

Δ𝑥

<

1.

Так как отношение Δ𝑡/Δ𝑥 меньше единицы, относительная скорость наших систем также меньше единицы, что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Из факта инвариантности интервала следует

(

Δ

𝑥)²

-

(

Δ

𝑡)²

=

(

Δ

𝑥')²

-

0²

=

(

Δ

σ)²

,

так что расстояние между событиями в системе отсчёта ракеты равно собственному расстоянию между этими событиями.

б) Снова направьте ось 𝑥 вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте теперь предположение. что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят в одном и том же месте. Тогда

Δ

𝑥'

=

0

=

Δ

𝑥

ch



θ

_𝑟

-

Δ

𝑡

sh



θ

_𝑟

,

откуда

th



θ

_𝑟

=

β

_𝑟

=

Δ𝑥

Δ𝑡

<

1,

что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Заметьте, что отношение Δ𝑥/Δ𝑡 есть просто та скорость, какой должен обладать в лабораторной системе наблюдатель на ракете, переносящийся от события к событию. Часть а) этого упражнения не содержит такой возможности. Из факта инвариантности интервала следует

(

Δ

𝑡)²

-

(

Δ

𝑥)²

=

(

Δ

𝑡')²

-

0²

=

(

Δ

τ)²

,

так что промежуток времени между этими событиями в данной системе отсчёта ракеты равен интервалу собственного времени между ними. ▲

18. Плоскость обоюдного согласия

Эту задачу можно решить двумя способами: во-первых, путём краткого рассуждения и, во-вторых, путём длинных математических преобразований (!). Рассуждения сводятся к следующему. Плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают, должна быть перпендикулярна направлению относительного движения этих систем отсчёта, так как видеть сразу и лабораторные, и ракетные часы синхронизированными друг с другом можно лишь в такой плоскости [см. часть б) упражнения 11]. Однако лабораторная система отсчёта и система ракеты во всех отношениях взаимно равнозначны. Поэтому скорость «плоскости согласия» должна быть одинакова как с точки зрения системы отсчёта ракеты, так и с точки зрения лабораторной системы (разным может быть лишь её направление). Какая промежуточная скорость будет сохранять своё численное значение при переходе от первой системы отсчёта ко второй? Во всяком случае, не β/2. Предмет, движущийся в лабораторной системе со скоростью β/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты скоростью, не равной - β/2 (ведь скорости не просто складываются). Однако предмет, движущийся в лабораторной системе так, что его параметр скорости равен θ_𝑟/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты параметром скорости - θ_𝑟/2 (параметры скорости аддитивны). Поэтому скорость движения «плоскости согласия» должна быть равна в лабораторной системе отсчёта β=th ½θ_𝑟, если, конечно, такая плоскость существует.

Математические преобразования, дающие тот же результат, состоят в следующем. Положите в преобразованиях Лоренца (36) 𝑡=𝑡'. Исключите затем из них 𝑥 и найдите, чему равно отношение 𝑥/𝑡 — скорость движения плоскости, на которой времена одинаковы. Вы получите (см. табл. 8):

2

sh²

θ

_𝑟

𝑥

=

ch



θ

_𝑟

-1

=

2

=

th

θ

_𝑟

.

𝑡

sh



θ

_𝑟

2

sh

θ

_𝑟

sh

θ

_𝑟

2

2

2

▲

19. Преобразование углов