Физика пространства - времени

55. Быстрые электроны

Станфордский линейный ускоритель сконструирован для ускорения электронов вплоть до кинетической энергии 40 Бэв (40 миллиардов электронвольт; 1 эв = 1,6⋅10⁻¹⁹ дж) для экспериментов с элементарными частицами. Ускоритель имеет в длину 10 000 фут (приблизительно 3000 м) и напоминает по виду трубу; электроны ускоряются в нем электромагнитными волнами, генерирующимися в огромных «радиолампах»— клистронах.

а) С точки зрения лабораторной системы отсчёта возрастание энергии электрона на каждом метре пути, пройденного в трубе ускорителя, приблизительно одинаково. Чему равна энергия, которую каждый электрон приобретает на 1 м пути (в Мэв); Допустим, что справедливо ньютоновское выражение для кинетической энергии. Какой путь должен был бы проделать электрон в трубе ускорителя, чтобы его скорость сравнялась со скоростью света? (Ответ на этот вопрос был предвосхищен в тексте, см. стр. 27).

б) На самом же деле, конечно, даже электроны с энергией 40 Бэв, выходящие из ускорителя, обладают скоростью β, меньшей, чем скорость света. Чему равна разность 1-β между скоростью света и скоростью этих электронов? Устроим состязания на скорость полёта между электронами с энергией 40 Бэв и световой вспышкой в эвакуированной трубе длиной 1000 км. Насколько свет опередит электроны в конце дистанции? Выразите ответ в миллиметрах.

в) Чему равна длина трубы «3 000 м» (длина ускорителя), если её измерять в системе отсчёта ракеты, движущейся вместе с электронами энергии 40 Бэв, которые даёт ускоритель? ▼

56*. Космические лучи

а) В космических лучах наблюдалась (косвенными методами) по меньшей мере одна частица, энергия которой была оценена в 16 дж (1,0⋅10²⁰ эв) ¹). Если носителем этой энергии был протон (𝑚𝑐²≈1 Бэв), то сколько времени потребовалось бы ему, чтобы пересечь нашу Галактику (диаметром 10⁵ световых лет), если измерять время по часам, летящим вместе с этим протоном? Ответ выразите в секундах (1 год ≈ 32⋅10⁶ сек). (В системе отсчёта Земли такой протон, движущийся почти со скоростью света, совершит этот перелёт немногим более чем за 10⁵ лет!)

¹) Jonh Linsley, Physical Review Letters, 10, 146 (1963).

б) Во сколько раз энергия частицы должна превышать её энергию покоя, чтобы диаметр нашей Галактики в результате лоренцева сокращения оказался равным диаметру этой частицы (около 1 ферми, что равно 10⁻¹⁵ м)? Какое количество массы потребовалось бы превратить в энергию, чтобы придать требуемую скорость протону? ▼

57. Границы ньютоновской механики

а) Один электронвольт (1 эв) равен тому изменению, которое претерпевает кинетическая энергия частицы, несущей единичный элементарный заряд, когда она проходит через разность потенциалов 1 в. 1 эв =1,60⋅10⁻¹⁹ дж. Чему равны энергии покоя электрона и протона (их массы указаны в конце книги), выраженные в миллионах электронвольт (Мэв)?

б) Кинетическая энергия частицы, движущейся с данной скоростью β, даётся выражением ½ 𝑚β² неточно. Относительная ошибка,

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Релятивистское

выражение для

кинетической

энергии

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Ньютоновское

выражение для

кинетической

энергии

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

,

⎛

⎜

⎝

Ньютоновское выражение

для кинетической энергии

⎞

⎟

⎠

равна 1 % при достижении ньютоновской кинетической энергией величины, составляющей определённую часть энергии покоя. Чему равна эта часть? [Можно ограничиться приблизительным ответом, полученным из анализа следующего члена разложения по формуле бинома (или в степенной ряд) точной формулы для энергии как функции скорости β, либо из других чётко сформулированных рассуждений.] Назовём этот случай (когда ошибка составляет 1 %) совершенно произвольно «границей ньютоновской механики». При какой кинетической энергии достигает этой границы протон (выразите энергию в Мэв)? При какой — электрон? ▼

58*. Релятивистская ракета

Какие ограничения накладывает теория относительности на лётные качества и скорость ракеты? Будем схематически представлять действие двигателя как последовательные выбросы одинаковых шариков, имеющих одну и ту же массу покоя 𝑚. Каждый выброс тогда можно рассматривать как «неупругое столкновение наоборот». Пусть каждый выброс осуществляется на ракете одним и тем же способом. Тогда разумно предположить, что скорость удаления одинакова для любого шарика, если её рассматривать в инерциальной системе отсчёта, в которой ракета покоится (она изображена на рис. 98 в «лабораторной системе отсчёта», связанной с ракетой до выброса). Назовём эту скорость удаления шарика скоростью выброса β_выбр.

Рис. 98. Исследование движения релятивистской ракеты.

а) Используя обозначения рис. 98, запишите уравнения сохранения импульса и сохранения энергии. Не забудьте учесть начальную энергию покоя 𝑀₁ но не считайте, что масса покоя сохраняется — ведь речь идёт о «неупругом столкновении наоборот»! Исключите из этих уравнений 𝑚 и найдите таким образом приращение 𝑑θ,

𝑑θ

=

β

_выбр