Физика пространства - времени

Рис. 85. Вывод релятивистского выражения для импульса из закона сохранения импульса в случае скользящего соударения.

Частица B движется настолько медленно, что ньютоновское выражение для импульса представляет собой сколь угодно хорошее приближение для её импульса: (Импульс)=m·y_B/t_B Здесь t_B — время, за которое частица B пролетает расстояние y_B от нижней границы рисунка до точки соударения. Это лабораторное время по своей величине сколь угодно близко к собственному времени полёта _B по той же причине, а именно потому, что скорость B может быть выбрана сколь угодно малой. (Пример: при =0,01 относительное различие величин и t составляет 5·10). Поэтому импульс B можно записать как m·y_B/_B. Зная величину импульса B, можно найти величину импульса p_A частицы A, сравнивая изображённые здесь диаграммы для импульса и для перемещения A (правило подобных треугольников). Для частицы A y-компонента перемещения может быть сделана равной y-компоненте перемещения частицы B (симметричное расположение «пола» и «потолка», о которые ударяются соответственно A и B): y_A=y_B=y. Промежуток собственного времени между моментами соударения и удара об пол (потолок) также один и тот же для A и B: _A=_B.

Доказательство 1) Движение частицы A в системе отсчёта ракеты совпадает с движением частицы B в лабораторной системе отсчёта (ср. рис. 83 и 84). Поэтому собственные времена полёта равны одно другому: (_A)_{система ракеты} = (_B)_{лабораторная система}.

2) Но собственное время между двумя событиями (столкновение и удар) одинаково во всех системах отсчёта, т.е. (_A)_{лабораторная ракеты} = (_A)_{система ракеты}.

3) Следовательно, (_A)_{лабораторная ракеты} = (_B)_{лабораторная система}.

что и требовалось доказать. Конечно, лабораторные часы показывают совершенно разные продолжительности полётов частиц A и B, если A обладает скоростью, близкой к скорости света: (t_A)^2_{лабораторная ракеты} = = (_A)^2_{лабораторная ракеты} + (x_A)^2_{лабораторная ракеты} >> >> (_A)^2_{лабораторная ракеты} = = (_B)^2_{лабораторная ракеты} = (t_B)^2_{лабораторная ракеты} .

Поэтому импульс частицы A в конце концов выражается непосредственно через величины, которые относятся лишь к движению A: p_A = m

r_A

_A .

Переходя от конечных разностей к производным и вспоминая, что импульс и перемещение обладают одним и тем же направлением, получим p = m

dr

d .

Это и есть релятивистская формула для импульса, справедливая для частицы, обладающей сколь угодно высокой энергией.

Релятивистский импульс сводится к ньютоновскому в пределе малых скоростей

Насколько велико различие между релятивистским и ньютоновским выражениями для импульса? Релятивистское выражение для импульса должно сводиться к ньютоновскому, когда скорости частиц малы. Такие медленные частицы проходят путь, много меньший одного метра за один метр времени (dr/dt). Тогда собственное время (dt)^2-(dr)^2=1-^2·dt при любом перемещении медленной частицы очень мало отличается от координатного времени dt:

d

dt

(для медленной частицы),

причём для =0,01 это равенство справедливо с точностью до 5 : 100 000 и стремится к тождественному совпадению при ->0. При этом релятивистское выражение для импульса p=m·dr/d совпадает с ньютоновским выражением p=m·dr/dt величина m одна и та же (инвариант m!).

В некоторых случаях удобнее выражать импульс через параметр скорости частицы , а иногда через её скорость =th . Тогда

p

=

m

dr

d

=

m

dr

(dt)^2-(dr)^2

=

=

m·dr/dt

=

1

-

dr

^2

1/2

dt

=

m

1-^2

=

m th

1-th^2

=

=

m th

=

ch^2

-

sh^2

1/2

ch^2

ch^2

m th ch

ch^2-sh^2

=

m sh

,

так что

p

=

m sh

=

m

1-^2

релятивистский

импульс,

размерность массы

(73)

Другой вид имеет ньютоновское выражение для импульса:

p

=

m

=

m th

ньютоновский

импульс,

размерность массы

(74)

Эти два выражения для импульса различаются множителем

dt

d

=

ch

1

1-^2

,

который определяет отношение между лабораторным временем и собственным временем, регистрируемым часами, летящими вместе с частицей. Этот множитель совпадает с коэффициентом в формуле замедления хода времени (см. упражнение 10). Присутствие такого множителя в релятивистской формуле для импульса показывает, что частица способна нести с собой в процессах столкновений сколь угодно большой импульс, если только она движется со скоростью, близкой к скорости света. Этого никак нельзя было ожидать, опираясь на неверную в этом случае ньютоновскую формулу для импульса p=m, где m — постоянная, а не может превышать единицы.