Физика пространства - времени

б) Два события происходят одновременно и имеют одно и то же значение координаты x в лабораторной системе отсчёта, но разница в значениях координат y и z для них равна y и z. Покажите, что эти два события будут одновременными и в системе отсчёта ракеты.

в) Пользуясь формулами преобразования Лоренца, покажите, что в момент t=0 в лабораторной системе отсчёта часы в системе отсчёта ракеты на положительной части оси x оказываются позади лабораторных часов, а на отрицательной части оси x — впереди лабораторных часов, причём разница во времени, показываемом часами в лабораторной системе отсчёта и системе ракеты, возрастает по мере удаления от начала координат по закону

t'

=-

xsh

_r

=

-x

_r

1-_r^2

.

(46)

г) Пользуясь формулами преобразования Лоренца, покажите, что в момент t'=0 в системе отсчёта ракеты часы в лабораторной системе отсчёта на положительной части оси x оказываются впереди часов ракеты, а на отрицательной части оси x — позади часов ракеты, причём разница во времени, показываемом часами в системе отсчёта ракеты и в лабораторной системе, возрастает по мере удаления от начала координат по закону

t'

=+

x'sh

_r

=

+x'

_r

1-_r^2

.

(47)

Тот факт, что никто из двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга, не согласится, что время опорного события и времена, когда все часы в системе отсчёта другого наблюдателя показывают нулевой момент, одновременны, носит название относительной синхронизации часов.

д) Казалось бы, что разные знаки в законах (46) и (47) приводят к асимметрии между системами отсчёта, позволяющей провести различие между этими системами, что противоречило бы принципу относительности. Покажите, что если наблюдатель в каждой системе отсчёта ориентирует положительное направление своей оси x в направлении движения другой системы относительно него, то все физические измерения, связанные с синхронизацией часов, дадут в каждой системе совершенно тождественные результаты. Иначе говоря, системы отсчёта нельзя различить с помощью и этого метода. Разница в знаках в приведённых выше уравнениях вызвана произвольным (и асимметричным) выбором общего для обеих осей x положительного направления.

е) Полученные выводы иногда выражаются в виде утверждения, что «наблюдатель на ракете обнаруживает рассинхронизированность разных лабораторных часов между собой». Объясните, в чём ошибочность этой формулировки. Покажите, что для необходимых при этом измерений недостаточно одного-единственного наблюдателя на ракете. Как выразить полученные выше выводы безупречно корректно, чётко и ясно (хотя бы это оказалось значительно длиннее!)?

12. Эвклидовы аналогии

а) Пусть в плоскости xy эвклидовой системы координат лежит прямой стержень. Начертите диаграмму, изображающую этот стержень в плоскости xy; постройте проекции стержня на оси x, y и x', y'. Разберите аналогию между различием в значениях x-компонент длины стержня, измеренных в двух повёрнутых относительно друг друга эвклидовых системах координат, и различием в длине движущегося стержня, наблюдаемого в лабораторной системе отсчёта, и покоящегося в системе ракеты стержня.

б) Разберите аналогию между замедлением времени и изменением длины y-компоненты стержня при переходе между повёрнутыми друг относительно друга эвклидовыми системами координат [см. часть (а)]. Назовите инварианты геометрии Эвклида и геометрии Лоренца.

в) Разберите аналогию между относительной синхронизацией часов и случаем двух повёрнутых друг относительно друга эвклидовых систем координат, когда точки на положительной части оси x в одной системе координат будут иметь, скажем, отрицательные значения координаты y в другой системе (и тем более отрицательные, чем дальше мы будем уходить от начала координат).

13. Лоренцево сокращение. II

Пусть метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, направлен вдоль оси x'. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что стержень претерпел лоренцево сокращение, если измерит время, за которое этот стержень пролетает мимо одних из часов лабораторной системы, и умножит его на величину относительной скорости движения систем.

14. Замедление хода часов. II

Два события происходят в одном и том же месте, но в разные моменты времени в системе отсчёта ракеты. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что промежуток времени между этими двумя событиями будет больше в его системе, если измерит расстояние между событиями в лабораторной системе и разделит его на величину относительной скорости движения систем.

15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах

Пусть время измеряется в секундах (пометим это индексом: t_сек), а v_r — относительная скорость лабораторной системы отсчёта и системы ракеты, выраженная в м/сек. Покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают тогда вид

x'

=

x ch

_r

-

ct

_сек

sh

_r

=

x-v_rt_сек

1-(v_r^2/c^2)

,

t

_сек

-

v

_r

x

t

_сек

'

=-

t

sh

_r

+

t

_сек

ch

_r

=