Физика пространства - времени

С другой стороны, взглянем на рис. 37 (в упражнении 48 вы найдёте пространственно-временные аналоги рис. 36 и 37). Здесь изображено другое поле, которое простирается в направлении оси x на то же расстояние x. Однако его протяжённость в направлении оси x' больше, чем x:

x'

=

x

cos _r

.

(41)

Вы безусловно согласитесь с этими выводами. У вас даже не зародится сомнения, будто формулы (40) и (41) противоречат друг другу. Ведь вы понимаете, что величина x в этих формулах каждый раз относится к другому измерению другого поля. Может быть, теперь вы будете готовы поверить, что длина метрового стержня, покоящегося относительно ракеты, будет зарегистрирована в лаборатории как отрезок меньше одного метра длины, тогда как метровый стержень, покоящийся в лаборатории, окажется короче одного метра при измерении с ракеты? Вы скажете: «Я согласен теперь, что в ваших утверждениях нет логических противоречий. Но, может быть, вы не остановитесь на том, что сказали, и по-настоящему докажете мне справедливость сказанного только что, а именно что метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе, будет короче одного метра с точки зрения системы отсчёта ракеты». Ответ таков: разрешим формулы преобразования Лоренца (39) относительно координат лабораторной системы отсчёта, выразив их через координаты в системе ракеты. Иначе говоря, поменяем местами штрихованные и нештрихованные координаты в этих формулах и заменим знак скорости на обратный. Или же просто перейдём к уравнениям (36), обратным по отношению к (39). В любом случае запишем соотношения

x

=

x' ch

_r

-

t' sh

_r

,

t

=

-

x' sh

_r

+

t' ch

_r

,

y

=

y',

z

=

z'.

(42)

Новый метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта. Если смотреть из системы отсчёта ракеты, он находится в движении. Поэтому при определении его длины в системе отсчёта ракеты мы должны исходить из двух отправных точек в этой системе, а именно из положений концов нашего метрового стержня в один и тот же момент времени в системе отсчёта ракеты. Итак, t'=0. Первое из соотношений (42) сразу же даёт

x'

=

x

ch _r

=

x

·

1-

_r

^2

.

(43)

Длина, зарегистрированная в системе отсчёта ракеты, короче одного метра, если метровый стержень покоится относительно лаборатории, что и требовалось доказать.

10. Замедление хода часов

Пусть часы движутся вместе с ракетой (рис. 38) и наблюдаются из лабораторной системы отсчёта (лабораторная решётка стержней и часов). В чём будет состоять отличие заключений наблюдателя в лаборатории относительно времени, показываемого движущимися часами, от того, что предсказывала дорелятивистская физика? Разобьём этот вопрос на 4 части.

Рис. 38. Способ сравнивать показания одних часов на ракете с показаниями нескольких лабораторных часов.

а) Как этот вопрос о ходе времени может быть переформулирован в вопрос о разделении двух событий?

б) Пусть между двумя событиями, выбранными в части (а), часы на ракете отсчитали 1 м светового времени, т.е. в системе отсчёта ракеты зарегистрирован интервал времени t'=1 м. Покажите, что соответствующий промежуток времени, зарегистрированный в лабораторной системе отсчёта, определяется соотношением

t

=

t'

·

ch

_r

=

t'

1-_r^2

.

(44)

Этот промежуток времени превышает 1 м светового времени. Такое удлинение называется замедлением хода часов (замедлением времени).

в) Как можно согласиться с выводом, полученным в части (б), о том, что 1 м времени, прошедший в системе отсчёта ракеты, оказывается больше, чем 1 м времени для наблюдателя в лаборатории? Не позволит ли этот вывод различать, исходя из физических законов, систему отсчёта ракеты (в которой часы идут с их стандартной скоростью) и лабораторную систему отсчёта (где те же самые часы отстают)? Не будет ли, таким образом, этот вывод противоречить принципу относительности (разд. 3), на котором основана вся теория относительности?

г) Пойдём ещё дальше и покажем, что 1 м времени, прошедший по часам, покоящимся в лабораторной системе отсчёта (t=1 м), будет зарегистрирован как интервал времени больше одного метра наблюдателями в системе отсчёта ракеты согласно формуле

t'

=

t

ch

_r

=

t

1-_r^2

.

(45)

Каким образом этот вывод подтверждает симметрию между обеими системами отсчёта (ракеты и лаборатории), требуемую принципом относительности?

11. Относительная синхронизация часов

а) Покажите, что если два события происходят одновременно и в одном и том же месте в лабораторной системе отсчёта, они будут одновременными в системе отсчёта любой ракеты. Покажите, что если два события происходят одновременно, но не в одной и той же точке на оси x в лабораторной системе отсчёта, они не будут наблюдаться как одновременные ни в одной системе отсчёта ракеты. Тот факт, что движущиеся относительно друг друга наблюдатели не всегда будут соглашаться друг с другом, одновременны или нет два события, носит название относительности одновременности.