Физика пространства - времени

Так мы вновь проверили (простейшим возможным способом) тот факт, что преобразование Лоренца оставляет неизменным выражение для интервала.

Обратное преобразование Лоренца

Как мы уже вполне убедились, преобразование Лоренца служит для перевода информации с языка системы координат ракеты (x', t') на язык лабораторной системы координат (x, t). Кроме того, этот «словарь» во всех отношениях согласуется с универсальным языком интервалов (непротиворечивость ковариантного и инвариантного описаний в физике пространства-времени). Но мы нуждаемся в большем — ведь турецко-английский словарь можно купить в одном переплёте с англо-турецким. Так где же этот второй «словарь теории относительности»? Как совершить обратный переход от x и t к x' и t'? Если первый словарь соответствовал формулам

x

=

x'ch

_r

+

t'sh

_r

,

t

=

x'sh

_r

+

t'ch

_r

,

(36)

то какие формулы будут служить для обратного перехода от лабораторных к ракетным данным? Ответ: преобразование Лоренца, обратное преобразованию (36), задаётся формулами

x'

=

xch

_r

-

tsh

_r

,

t'

=-

xsh

_r

-

tch

_r

.

(37)

Доказательство. Подставьте последние выражения для x' и t' в формулы (36) и покажите, что получаются тождества (т.е. если перевести английское слово на турецкий язык, а затем снова на английский, то мы снова придём к исходному слову, если только каждый из словарей действительно является обратным по отношению к другому!).

В табл. 8 формальные определения гиперболических функций и некоторые соотношения для них записаны параллельно аналогичным определениям и соотношениям для тригонометрических функций. Здесь через e обозначено основание натуральных логарифмов, численно равное 2,718281…, а через i обозначен квадратный корень из минус единицы (мнимая единица), так что i^2=-1. Обычные правила сложения и умножения экспонент справедливы и для экспонент, содержащих i. Угол берётся в обычных или гиперболических радианах, но не в градусах. Выражения типа 4! обозначают факториал; так, «четыре факториал» =4!=4x3x2x1=24. Чтобы разобраться в этих соотношениях, получите равенства 7—13 из определений 1—6 на обеих сторонах таблицы и качественно покажите, как из них вытекают графики на рис. 32 и 33. Особо отметьте различия в знаках в левой и правой сторонах таблицы.

Таблица 8.

Тригонометрические и гиперболические функции

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Тригонометрические функции

Гиперболические функции

1.

sin

=

eⁱ-e^-i

2i

1.

sh

=

e-e^-

2

2.

cos

=

eⁱ+e^-i

2i

2.

ch

=

e+e^-

2

3.

tg

=

sin

cos

3.

th

=

sh

ch

4.

sin

=

-

^3

3!

+

5!

-

7!

+…

4.

sh

=

+

^3

3!

+

5!

+

7!

+…

5.

cos

=

1

-

^2

2!

+

4!

-

6!

+…

5.

ch

=

1

+

^2

2!

+

4!

+

6!

+…

6.

tg

=

+

^3

3

+

2

15

+…

6.

th

=

-

^3

3

+

2

15

-…

СООТНОШЕНИЯ

7.

sin(-)

=-

sin

7.

sh(-)

=-

sh

8.

cos(-)

=

cos

8.

ch(-)

=

ch

9.

tg(-)

=-

tg

9.

th(-)

=-

th

10.

cos^2

+

sin^2

=1

10.

ch^2

+

sh^2

=1

11.

sin(+)

=

sin

cos

+

+

cos

sin

11.

sh(+)

=

sh

ch

+

+

ch

sh

12.

cos(+)

=

cos

cos

-

-

sin

sin

12.

ch(+)

=

ch

ch

-

-

sh

sh

13.

tg(+)

=

tg +tg

1-tg tg

13.

th(+)

=

th +th

1-th th

СПОСОБЫ БЫСТРОЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПРОСТЫХ СМЕРТНЫХ

При малых

При малых

sin

sh

tg

th

Пример

:

=0,1

Пример

:

=0,1

Быстрая оценка:

Быстрая оценка:

sin 0,1

sh 0,1

tg 0,1

th 0,1

Точные значения:

Точные значения:

sin =0,0998

sh =0,1002

tg =0,1003

th =0,0997

При больших

sh e

/2

ch e

/2

Пример

:

=3, e

20.

Быстрая оценка:

sh 10

th 10

Точные значения:

sh =10,018

th =10,068

Упражнения к главе 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Можно без труда проанализировать важные направления современных исследований, если опираться на теорию относительности. Такой анализ решающим образом зависит от физической интуиции, которая развивается на основе опыта. Опыт же не может быть теперь приобретён в лаборатории, так как даже простые эксперименты по теории относительности очень сложны и дороги ввиду громадной величины скорости света. Альтернативой этим простым экспериментам должны послужить следующие упражнения, в которых обсуждаются разнообразные следствия структуры пространства-времени. Эта структура вновь и вновь проявляется, когда мы обсуждаем разные вопросы:

парадоксы;

загадки;

выводы соотношений;

практические приложения;

оценки эффектов;

их точный расчёт;

трудности интерпретации.

Эта глава содержит все необходимые формальные данные для того, чтобы найти ответ в каждом упражнении, однако лучший путь развития интуиции (практического понимания явлений) — это работа без поспешности. Поэтому вы убедитесь, что лучше всего продолжать возвращаться к этим упражнениям, даже когда эта книга будет для вас пройденным этапом. Те, кто хочет пройти основной материал за возможно кратчайшее время, могут ограничиться упражнениями, названия которых напечатаны курсивом в помещённом ниже списке.

Математические преобразования при решении этих упражнений очень кратки, и лишь немногие расчёты займут в записи более пяти строк. Но с другой стороны, упражнения потребуют времени на «разжёвывание». Меньше всего времени отнимут упражнения, не помеченные звёздочкой; труднее упражнения с одной звёздочкой; упражнения же, помеченные двумя звёздочками, предназначены для студентов старших курсов и аспирантов.