Физика пространства - времени

x

=

x'

•

ch 

_r

+

t'

•

sh 

_r

,

t

=

x'

•

sh 

_r

+

t'

•

ch 

_r

.

(32)

Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости

Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения _r систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования Лоренца ещё больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота.

Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение

sh _r

cs _r

=

th 

_r

(33)

совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна

ch^2

_r

-

sh^2

_r

=

1

1-th^2_r

-

th^2_r

1-th^2_r

=

=

1-th^2_r

1-th^2_r

=

1.

(34)

Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций:

cos^2(угол)

+

sin^2(угол)

=

1.

(35)

Сравнение тригонометрических и гиперболических функций¹)

¹ Авторы здесь и в других местах вместо термина «тригонометрический» говорят «круговой». Действительно, тригонометрические функции, как это видно из дальнейшего обсуждения, тесно связаны с простейшей кривой второго порядка — окружностью, тогда как гиперболические функции связаны со свойствами другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся более принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».— Прим. перев.

Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложим на рис. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по горизонтальной оси — функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, и поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим о «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении cos^2+sin^2=1 происходит от того, что для получения квадрата длины вектора нужно сложить его x- и y- компоненты, возведённые в квадрат. Почему же в соотношении ch^2-sh^2=1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удалённостей событий во времени и в пространстве.

Рис. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и синусом — окружность. Пример: (3/5)^2+(4/5)^2=1

Рис. 33. Гиперболические функции: график связи между гиперболическими косинусом и синусом — гипербола. Пример: (5/3)^2-(4/3)^2=1

Проверка того факта, что преобразование поворота в эвклидовой геометрии оставляет неизменной длину

Разные знаки в соотношениях cos^2+sin^2=1 и ch^2-sh^2=1 связаны с различием между понятиями длины в эвклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения. Удостоверимся вновь в том факте, что в эвклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины:

(Длина)

^2

=

(

x)^2

+

(

y)^2

=

=

(

x'

cos

_r

+

y'

sin

_r

)^2

+

(-

x'

sin

_r

+

y'

cos

_r

)^2

=

=

(

x')^2

cos^2

_r

+

2(

x')(

y')cos

_r

sin

_r

+

(

y')^2

sin^2

_r

+

+

(

x')^2

sin^2

_r

-

2(

x')(

y')sin

_r

cos

_r

+

(

y')^2

cos^2

_r

=

=

[(

x')^2

+

(

y')^2]

·

(sin^2

_r

+

cos^2

_r

)

=

=

(

x')^2

+

(

y')^2

(подчёркнутые члены сокращаются).

Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение

cos^2

_r

+

sin^2

_r

=

1

играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и инвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат).

Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал

Ясно, что связь между ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении

ch^2

_r

-

sh^2

_r

=

1.

Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноподобного, так и временноподобного) в штрихованных координатах:

Интервал

собственной

длины

^2

=-

Интервал

собственного

времени

^2

=

=

Удалённость

в пространстве

^2

-

Удалённость

во времени

^2

=

=

(

x)^2

-

(

t)^2

=

=

(

x'

ch

_r

+

t'

sh

_r

)^2

-

(

x'

sh

_r

+

t'

cos

_r

)^2

=

=

(

x')^2

ch^2

_r

+

2(

x')(

y')ch

_r

sh

_r

+

(

t')^2

sh^2

_r

-

-[

(

x')^2

sh^2

_r

-

2(

x')(

y')sh

_r

ch

_r

+

(

t')^2

ch^2

_r

]=

=

[(

x')^2

-

(

t')^2]

·

(ch^2

_r

-

sh^2

_r

)

=

=

(

x')^2

-

(

t')^2

.