Физика пространства - времени

61. Второй вывод релятивистского выражения для энергии

а) На основании двух частей рис. 102 можно непосредственно записать закон сохранения импульса в ньютоновском пределе. Из верхней киноленты, снятой в лаборатории, следует закон сохранения в лабораторной системе отсчёта. Когда же на основании нижней киноленты рис. 102, снятой из ракеты, записывается закон сохранения импульса в этой системе, то стоящая в обеих частях уравнения скорость относительного движения систем _r уничтожается, и остаётся в точности уравнение, уже полученное в лабораторной системе отсчёта. Итак, в системе отсчёта ракеты импульс автоматически сохраняется, если он сохранялся в лабораторной системе; но это верно лишь для столкновений с малыми скоростями.

б) Переходя к релятивистскому анализу, заметим, что в системе отсчёта ракеты (нижняя кинолента на рис. 103) закон сохранения импульса принимает вид

m

sh

(-

_r

)

+

m

sh

(-

_r

)

=

=

m

sh

(

-

_r

)

+

m

sh

(

-

_r

)

.

Воспользовавшись формулой (11) из правого столбца табл. 8, преобразуем здесь каждое из четырёх слагаемых так, чтобы получилось соотношение вида (112). У нас появятся две скобки: первая

(

m

sh

+

m

sh

-

m

sh

-

m

sh

)

и вторая

(

m

ch

+

m

ch

-

m

ch

-

m

ch

)

Каждая из них должна самостоятельно обращаться в нуль, что следует из условия задачи. Значит, должны выполняться уравнения (111) и (113). Короче говоря, чтобы импульс сохранялся в системе отсчёта ракеты, недостаточно его сохранения в лабораторной системе отсчёта, как это было в предельном случае малых скоростей (в ньютоновской механике), но необходимо ещё, чтобы в лабораторной системе сохранялась и энергия, что выражается уравнением (113).

в) Ход приведённых рассуждений в основном останется без изменения, если массы покоя разлетающихся частиц отличаются от масс частиц до соударения. При этом закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчёта принимает вид

m

sh

+

m

sh

=

m

sh

+

m

sh

,

а закон сохранения энергии (тоже в лабораторной системе) —

m

ch

+

m

ch

=

m

ch

+

m

ch

,

Импульс будет сохраняться и в системе отсчёта ракеты, только если выполняются оба эти закона сохранения одновременно.

Что же касается сохранения кинетической энергии, то заметим, что, вычитая в случае упругого столкновения из соответствующих сторон уравнения (113) тождество m+mm+m, получим

(mch

-m)

+

(mch

-m)

=

(mch

-m)

+

(mch

-m)

,

T

+

T

=

T

+

T

.

Это и есть выражение того факта, что при упругих столкновениях кинетическая энергия сохраняется. В случае неупругих столкновений, когда m/=m и m/=m, сохранения кинетической энергии нет и подобного уравнения записать нельзя. Особый интерес представляют неупругие столкновения без излучения, но с переходом части кинетической энергии в массу покоя: m+mm+m.

62. Задачи на пересчёт

а) 100 вт — это 100 дж/сек, а так как в году около 30 миллионов секунд, то 100-ваттная лампочка излучает в год энергию, равную 3·10 дж. Это соответствует массе покоя, равной (3·10 дж)/c^2=^1/·10 кг.

б) 10^1^2 квт·ч= 10^1 вт·ч= 10^1·3600 вт·сек= 3,6·10^1 дж. Это соответствует массе покоя (3,6·10^1 дж)/c^2=40 кг. В действительности же в энергию при этом превращается более 40 кг массы, так как производство электроэнергии неизбежно сопровождается тепловыми потерями (часть массы «уходит» в тепло): так, теряется часть теплоты при использовании химической энергии (при сжигании угля), теряется теплота, возникающая в результате трения из механической энергии (в генераторах гидростанций). Конечно, оценка зависит от того, в каких масштабах рассматривать, например, струи газов, извергаемые трубами тепловой электростанции, работающей на угле. На микроскопическом уровне можно провести деление на массу покоя отдельных молекул и на кинетическую энергию их теплового движения. Напротив, в крупных масштабах получится, что эти горячие газы имеют массу покоя, превышающую сумму масс покоя отдельных составляющих их молекул (см. замечания по поводу «ящика с нагретым газом» на стр. 176). Конечно, та же участь ожидает и большую часть благополучно генерированной «полезной» электроэнергии, ведь её поглотят и превратят в теплоту стены освещённой с её помощью комнаты и т.д. и т.п. Так часть массы покоя угля превращается в электроэнергию, а потом —снова в массу покоя там, где эта энергия потребляется. И за целый год не найти ни одного момента, когда хоть сколько-нибудь заметная часть этих 40 кг энергии существовала в форме электроэнергии.

в) Студент производит энергию со скоростью (мощностью) в 2 лошадиные силы (л. с.): 1/2 л. с. полезной мощности + 3· 1/2 л. с. превращается в теплоту (2 л. с. 1500 вт). Срок, необходимый для того, чтобы превратить 1 кг массы в энергию, можно найти по формуле

1500

 

вт

·t

_сек

=

1

кг

·c^2

,