Физика пространства - времени

Нам ясна теперь сущность этого кажущегося парадокса, и мы знаем, что метровый стержень упадёт в отверстие. В лабораторной системе отсчёта этот вывод напрашивался сам собой: метровый стержень там был укорочен до длины, много меньшей метра, и ему ничего не стоило провалиться в отверстие. В системе отсчёта ракеты, напротив, отверстие сократилось до размеров, намного меньших метра, тогда как метровый стержень приобрёл свою полную длину. При этом, однако, мы должны были признать, что метровый стержень не был — и не мог быть в принципе — абсолютно жёстким, его правый конец выгнулся вниз, этот конец погрузился в отверстие, а за ним туда нырнул и весь стержень.

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛ. 2

55. Быстрые электроны

а) Энергия, приобретаемая на 1 м пути, равна

40·10^3 Мэв

3·10^3 м

13

Мэв

/

м

.

Если бы выполнялись законы механики Ньютона, то энергия электрона, движущегося со скоростью света, была бы равна

1

2

mc^2

=

1

2

(0,511

Мэв

)

1

4

Мэв

(по Ньютону)

,

и эта энергия была бы достигнута на дистанции

1/4 Мэв

13 Мэв/м

=

1

52

м

2

см

!

б) Согласно формуле (107), полученной во введении к этим упражнениям,

1-

m^2

2E^2

,

если

1

.

Здесь величины m и E выражены в одних и тех же единицах. Так как нас интересует их отношение, то выбор единиц (если они одинаковы для обеих величин!) не играет роли. Тогда, используя единицы Мэв, получим

1-

(1/2 Мэв)^2

2·(4·10 Мэв)^2

1

128

·

10

10^1

.

Скорость этих электронов отличается от скорости света менее чем на десятимиллиардную часть последней. При состязании на скорость полёта между такими электронами и световой вспышкой на дистанции 1000 км=10 мм свет опередит электроны всего лишь на

(1-) 10

мм

10^1·10

мм

=

0,1

мм

.

в) Множитель, характеризующий лоренцево сокращение, равен при этом

1

ch

=

m

E

=

0,5 Мэв

40·10^3 Мэв

=

1,2·10

,

так что сократившаяся длина «3000-метровой» трубы при измерении в системе отсчёта ракеты составляет всего

(3·10^3

м

)·1,2·10

4·10^2

м

=

4

см

.

56. Космические лучи

а) Коэффициент, характеризующий замедление времени, определяется формулой (44) из упражнения 10, так что

t'

=

t

ch _r

=

t

m

E

=

t

·

10 эв

10^2 эв

,

так что для интервала времени, равного

t

(10

лет

)

(3·10

сек

/

год

)

,

найдём

t'

=

10·3·10·10^1^1

сек

=

30

сек

.

Пока за свои 30 сек космический путешественник успевает пересечь Галактику, на Земле проходит сто тысячелетий!

б) Коэффициент, характеризующий лоренцево сокращение Галактики, определяется по формуле (38) из упражнения 9 и равен

10 св. лет

10^1 м

=

(10 лет)(3·10 сек/год)(3·10 м/сек)

10^1 м

=

=

9·10^2 м

10^1 м

10^3

=

ch

 

_r

=

m

E

.

Чтобы протон приобрёл необходимую скорость, ему необходимо придать энергию, равную в единицах массы

T

=

E

-

m

=

10^3m

-

m

10^3m

10^3m

·

10^3·10^2

кг

10

кг

,

иначе говоря, потребуется превратить в энергию около одного миллиона тонн массы, чтобы разогнать этот протон!

57. Границы ньютоновской механики

а) Ответ также указан в конце книги!

б) Согласно формуле без номера, находящейся на стр. 155 между формулами (81) и (82), из разложения бинома Ньютона следует разложение по степеням и для релятивистской энергии:

E

=

m

+

m

^2

2

+

3

8

m

+

…,

откуда

T

=

E

-

m

=

m

^2

2

+

3

8

m

+

…

.

Здесь первый член справа — обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии. Сравнивая с ним следующий член, найдём, что поправка порядка 10^2 к ньютоновской механике, рассматриваемая в этом упражнении, будет иметь место при

m^2

+

3

m

-

m^2

2

8

2

=

10^2

,

m^2/2

т.е. когда

^2

=

4

3

·

10^2

.

Это и есть граница ньютоновской механики; сравните её с другими «границами», найденными в упражнениях 39 и 40 гл. 1. При такой скорости отношение кинетической энергии к энергии покоя равно

m^2

2

·

m^1

=

^2

2

=

2

3

·

10^2

.

В случае протона его кинетическая энергия, соответствующая границе применимости ньютоновской механики, равна

T

_p

=

2

3

·

10^2

m

_p

2

3

·

10^2

Бэв

=

2

3

·

10^2·10

эв

=

2

3

·

10

эв

7

Мэв

.

В случае же электрона соответствующая кинетическая энергия равна

T

_e

=

2

3

·

10^2

m

_e

2

3

10^2·10

эв

3

кэв

.

58. Релятивистская ракета

а) Законы сохранения импульса и энергии выражаются как

-

m

 

sh

 

_выбр

+

Msh (d)

=

0,

m

 

ch

 

_выбр

+

Mch (d)

=

M.

Перенесите вторые слагаемые из левых частей обеих формул вправо, разделите соответствующие части получившихся формул друг на друга и учтите соотношения

sh _выбр

ch _выбр

=

th

 

_выбр

=

_выбр

,

sh (d)

d

,

ch (d)

1

.

Вы получите требуемые соотношения.

б) Когда параметр скорости мал, =, так что

v

=

c

_выбр

c

ln

M

M

=

v

_выбр

 

ln

M

M

,

что и требовалось показать.

в) Из закона сохранения энергии легко заключить, что m+M=M так как для того, чтобы получить M, нужно сложить m и M, предварительно умноженные на коэффициенты, много большие единицы. Рассматриваемый здесь процесс — это «обращённое неупругое столкновение»: в неупругих столкновениях кинетическая энергия переходит в массу покоя, тогда как здесь, наоборот, масса покоя превращается в кинетическую энергию ракеты и продуктов сгорания топлива.

г) Даже при наибольших допустимых отношениях масс (M/M->) и при самых высоких скоростях выброса (_выбр->1) скорость ракеты будет лишь приближаться к скорости счета, но не сможет её превысить:

=

th

->

1

при

=