Физика пространства - времени

Разрешение этого «парадокса» состоит в том, что в системе отсчёта бегуна передний конец шеста покидает сарай прежде, чем задний конец шеста входит в сарай. Поэтому с точки зрения бегуна шест вообще ни в какой момент времени не находится в сарае целиком. Последовательность событий можно подробнее проиллюстрировать двумя диаграммами пространства-времени (рис. 144 и 145), численные значения длин и моментов времени на которых можно получить из следующих соображений. Так как множитель, описывающий лоренцево сокращение, по условию задачи равен 2, то (см. упражнение 9)

ch

_r

=

2

.

Поэтому из тождества

ch^2

-

sh^2

=

1

следует, что

sh

_r

=

3

.

Отсюда относительная скорость двух систем отсчёта равна

_r

=

th

_r

=

3

2

.

Чтобы найти численные значения, приведённые на рис. 144 и 145, достаточно воспользоваться этими данными, а также тем, что длина шеста в системе отсчёта бегуна равна 20 м, а в лабораторной системе 10 м.

26. Война в космосе

Камень преткновения состоял в понятии одновременности —«в тот момент, когда» (см. также упражнение 11). Точки a и a' могут поравняться друг с другом только в другом месте вдоль траектории относительного движения ракет, а не в точке, где производится выстрел из орудия. Поэтому момент, когда точки a и a' поравнялись друг с другом, может совпадать с моментом выстрела лишь в какой-то одной из двух систем отсчёта. По условию задачи такая одновременность имеет место в системе O, так что рис. 42 правилен по определению. Но рис. 43 неверен: к тому времени, когда в системе O' поравняются точки a и a', выстрел уже будет произведена Неверна и подпись под рис. 43: снаряд пролетит мимо ракеты с точки зрения обеих систем отсчёта.

27. Парадокс часов

а) Возраст отправившегося в путешествие Петра будет при его возвращении равен (в годах): 21 (возраст на старте) + 7 (время, проведённое на удаляющейся от Павла ракете A) + 7 (время, проведённое на приближающейся к Павлу ракете B), т.е. всего 35 лет.

б) См. рис. 146.

Рис. 146.

в) Исходя из величины относительной скорости, равной 24/25, найдём значение гиперболического косинуса от параметра скорости

ch

_r

=

1-

_r

^2

=

25

7

.

Точка, в которой Пётр изменил свою скорость на обратную, имеет в системе отсчёта ракеты A координату x'=0, так как Пётр всё время был в начале координат этой системы; время же, соответствующее этому моменту, равно в системе отсчёта ракеты t'=7 лет. Из формулы преобразования Лоренца для времени найдём, что момент изменения направления скорости в лабораторной системе отсчёта соответствует

t

=

x' sh

_r

+

t' ch

_r

=

0+7

·

25

7

лет

.

Промежуток времени между расставанием и встречей в лабораторной системе отсчёта вдвое превышает это r, так что к моменту встречи Павлу исполнится 21 + 25 + 25 = 71 год, и он будет более чем в два раза старше, чем Пётр-путешественник!

28. Предметы, движущиеся быстрее света

а) Когда стержень проходит в своём движении вниз расстояние y=^yt, точка A продвигается вдоль оси x на расстояние x, даваемое выражением

y

x

=

tg

,

т.е.

x

=

y

tg

=

^y

tg

t'

.

Поэтому скорость движения точки пересечения A равна

_A

=

x

t

=

^y

tg

.

Для любой величины ^y можно подобрать такой достаточно маленький, но всё же отличный от нуля угол , что _A будет больше единицы, т.е. будет превышать скорость света. Но такое перемещение точки пересечения ни в коей мере не влечёт за собой передачи информации вдоль оси x точно так же, как не происходит переноса информации между двумя будильниками, заранее поставленными на определённые моменты времени и зазвеневшими поэтому в разных точках пространства с таким интервалом времени между звонками, что свет не мог бы связать эти два события. В настоящем же примере нужно было предварительно в течение длительного срока ускорять длинный прямой стержень, пока он не приобрёл бы своей конечной скорости, а наблюдатель в начале координат не имеет никакого шанса передать только что появившуюся у него информацию другому наблюдателю, находящемуся далеко от него вдоль оси x, с помощью мчащейся точки пересечения. В части б) этого упражнения рассмотрена безуспешная попытка передать такую вновь полученную информацию со сверхсветовой скоростью.

б) В этом случае точка пересечения сможет перемещаться вправо не быстрее, чем со скоростью распространения в стержне акустических волн, т.е. со скоростью, во много раз меньшей, чем скорость света.

в) Обозначим угловую скорость вращения прожектора через (в радианах в секунду). Условие того, что скорость поворота луча превышает c, имеет вид

r

c

или

r

c/

.

Указанное в условии предупреждение вовсе не передаётся от A к B, совершенно так же, как оно не передавалось бы в случае, если будильники поставлены на очень близкие друг к другу моменты времени.

г) Да, скорость луча на экране может превышать скорость света, как и скорость вращения луча прожектора в части в) этого упражнения могла быть больше c.

29. Синхронизация движущимися часами — подробный пример

Решение дано в тексте.