Физика пространства - времени

9. Лоренцево сокращение — подробный пример.

Решение дано в тексте.

10. Замедление хода часов

а) Можно, например, воспользоваться событиями, состоящими в пробивании отметок стрелкой часов на ракете в бумажных экранах, как это показано на рис. 38.

б) По определению x'=0. Подставляя эту величину в уравнение (42), получим (44).

в) Принцип относительности не нарушается ввиду симметрии между системами отсчёта. Отдельные покоящиеся в лаборатории часы отстают с точки зрения системы отсчёта ракеты, если их сравнивать последовательно со встречающимися им часами, покоящимися в системе ракеты [см. часть г)]. Нелишне также вспомнить анализ части г) в предыдущем упражнении.

г) По определению x=0. Подставляя эту величину в уравнение (39), получим (45).

11. Относительная синхронизация часов

а), б) и в) При x=0 и t=0 формулы преобразования Лоренца дают t'=0 в системе отсчёта любой ракеты. Это верно вне зависимости от того, равны ли нулю y и z или не равны (вопрос б)). Если же t=0, а x/=0, тогда

t'

=-

x

sh

 

_r

/=

0

.

Уравнение (46) получается при использовании соответствующих условий (t=0) в уравнениях (37).

г) Чтобы вывести (47), подставим t'=0 в уравнения (36).

д) Если выбрать в системе ракеты положительное направление оси x' в направлении относительного движения лабораторной системы, то знак в уравнении (47) изменится на обратный, и это уравнение примет тот же вид, что уравнение (46).

е) Чтобы произвести измерения в нескольких разных местах в системе отсчёта ракеты при t'=0 (т.е. одновременно в этой системе), необходимо воспользоваться несколькими часами-хронографами. Лучше было бы употребить выражение: «Пусть часы-хронографы на ракете будут расположены так, чтобы каждые из лабораторных часов были рядом с ними в начальный момент ракетного времени (t'=0), и пусть они сфотографируют в этот момент циферблаты лабораторных часов. Тогда на этих фотографиях не все лабораторные часы будут показывать время t=0».

12.Эвклидовы аналогии

Рис. 140.

а) и б) См. рис. 140. Аналогия проявляется, когда мы сравниваем координаты x эвклидовой системы и лоренцевой системы, а также координаты y эвклидовой системы и t лоренцевой системы. При этом на рис. 140 расстояние x_A' меньше, чем расстояние x_A, что соответствует различию наблюдаемых длин одного и того же движущегося стержня в системах отсчёта ракеты и лаборатории. Подобным же образом, замедление хода часов аналогично различию между значениями координат y_A' и y_A в двух эвклидовых системах. В эвклидовой геометрии инвариантом является длина стержня, получаемая из значений координат его концов в любой системе. В лоренцевой геометрии инвариант — это интервал между двумя событиями, получаемый из результатов наблюдений в любой инерциальной системе отсчёта.

Рис. 141.

в) См. рис. 141. Точки, для которых y'=0, не все имеют координату y=0. Подобным же образом, не все события, происшедшие при t'=0, будут иметь координату t=0.

13. Лоренцево сокращение. II

Сосредоточим своё внимание на следующих двух событиях: прохождении концов метрового стержня через начало пространственных координат лабораторной системы. В системе отсчёта ракеты эти события разделены расстоянием минус один метр (минус потому, что лаборатория в системе отсчёта ракеты движется в отрицательном направлении оси x) и временем, равным (1 м)/(относительная скорость):

x'

=-

1

м

.

t'

=

1 м

_r

.

В лабораторной системе оба события происходят в одном и том же месте, но разделены отрезком времени t который по условию задачи следует положить равным L/(относительная скорость), где L —«длина» метрового стержня, измеренная таким путём в лабораторной системе отсчёта. Подставляя эти величины в формулы преобразования Лоренца (16), выразим t через относительную скорость:

t

=

L

_r

=

_r(-1 м)+(1 м)/_r

1-_r^2

.

Отсюда

L

=

1-

_r

^2

м

,

что и соответствует лоренцеву сокращению, наблюдаемому в лабораторной системе [формула (38)].

14. Замедление хода часов. II

Согласно условию задачи, x'=0, а t'/=0. Расстояние между двумя событиями в лабораторной системе отсчёта можно вычислить по формуле преобразования Лоренца

x

=

0

+

t'

sh

 

_r

.

От нас требуется «измерить» время, прошедшее между этими событиями в лабораторной системе, разделив полученное выше расстояние на скорость движения обеих систем друг относительно друга:

t

=

x

_r

=

x

th _r

=

t'

ch

 

_r

Это и есть формула, описывающая замедление хода часов (44).

15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах

Просто подставим в формулы (37) t=t_сек/c и _r=v_r/c. Обратные преобразования [(36) или (16)] примут тогда вид

x

=

x'

ch

 

_r

+

ct

_сек

'

sh

 

_r

x'+v_r t_сек'

1-(v_r/c)^2

,

t

_сек

'

+

v

_r

x'

t

_сек

=

x'

sh

 

_r

+

t

_сек

'

ch

 

_r

=

c^2

,

c

1-(v

_r

/c)^2

16. Вывод формул преобразования Лоренца