Feynmann 4

Мы знаем, что 1 эв соответствует kT при температуре, дости­гающей 11 600 град. Нить накаливания радиолампы работает примерно при температуре 1100 град, поэтому экспоненциаль­ный множитель равен примерно е^-10; когда мы слегка изменяем температуру, экспоненциальный множитель изменяется очень сильно. Это опять основное свойство формул, содержащих ехр(-q_ej/kT). Предэкспоненциальный множитель на самом деле совершенно неверен; оказывается, что поведение электронов в металле правильно описывает квантовая, а не классическая механика, но правильный множитель лишь немного отличается от нашего. Фактически до сих пор никто еще не смог точно вычислить этот множитель, хотя многие при расчетах пользо­вались квантовыми формулами высшего класса. Основная задача состоит в том, чтобы выяснить, не меняется ли W хотя бы мед­ленно с температурой? Если да, то медленно изменяющуюся с температурой величину W нельзя отделить от предэкспоненциальных коэффициентов. Если, например, W зависит от темпера­туры линейно, так что W= W₀+akT, то

Такая линейная зависимость W от температуры эквивалентна измененной «постоянной». Попытка точного вычисления пред-экспоненциального множителя очень трудна и обычно бесплодна.

§ 3. Тепловая ионизация

Перейдем теперь к еще одному применению все той же идеи. Теперь речь пойдет об ионизации. Предположим, что газ состоит из великого множества атомов, которые обычно нейтральны, но если газ нагреть, то атомы могут оказаться ионизованными. Нам нужно знать, сколько существует ионов при тех или иных обстоятельствах, т. е. при заданной плотности атомов в единичном объеме и при определенной температуре. Снова придется представить себе ящик, в котором находится N атомов, содержащих в себе электроны. (Если электрон поки­дает атом, то атому присваивается наименование ион, а если атом нейтрален, то говорят просто—атом.) Таким образом, предположим, что в заданный момент в единичном объеме число нейтральных атомов равно n_а, число ионов равно n_i, а число электронов равно n_е. Нужно определить, как связаны эти три числа между собой?

Прежде всего эти числа подчиняются двум условиям или связям. Например, можно как угодно менять различные ус­ловия, температуру и т. д., но сумма n_a+n_i всегда останется одной и той же, потому что это просто-напросто N — число атомных ядер в ящике. Если в единице объема число ядер сохраняется постоянным, а изменяется, скажем, температура, то, хотя в результате ионизации некоторые атомы превращаются в ионы, общее число атомов и ионов не изменяется. Значит, n_e+n_i.=N. Другое условие вытекает из того, что если газ в целом электрически нейтрален (и если мы пренебрегаем двой­ной или тройной ионизацией), то число ионов всегда равно числу электронов, или n_е=n_i. Эти дополнительные условия просто выражают сохранение заряда и сохранение атомов.

Эти равенства верны, и мы в конце концов всегда используем их при решении реальных задач. Но нам нужно получить другое соотношение между этими величинами. Сделать это можно так. Обратимся снова к идее о том, что для отрыва электрона от атома требуется какое-то количество энергии, которую мы будем называть энергией ионизации и обозначать буквой W (чтобы новые формулы выглядели так же, как и раньше). Итак, W равна энергии, потребной для того, чтобы оторвать электрон от атома и получить ион. Мы снова убеждаемся, что число свободных электронов в единичном объеме «пара» равно произведению числа электронов в единичном объеме, связан­ных в атомах, на е в степени минус разность энергий связанного и свободного электронов, деленная на kT. Опять основное уравнение. Но как это записать? Число свободных электронов в единичном объеме, конечно, n_e, потому что определение n_е. Ну, а что можно сказать о числе связанных в атоме элек­тронов в единичном объеме? Общее число мест, отданных элек­тронам, равно n_а+n_i;, и мы предположим, что когда все элек­троны связаны, то каждому отводится некоторый объем V_a. Таким образом, полный атомный объем, занимаемый связан­ными электронами, равен (n_a+n_i)V_a, и нашу формулу теперь можно записать в виде

Но формула эта неверна. Мы упустили из вида одно существен­ное обстоятельство: когда один электрон попал в атом, другой электрон уже не может проникнуть в этот же объем! Иначе говоря, не все объемы из числа возможных доступны электрону, который раздумывает, куда бы ему отправиться — в пар или в конденсированное состояние. Здесь возникают не­предвиденные осложнения, в силу которых электрон не может подойти близко к тому месту, где уже находится другой элек­трон — они отталкиваются. По этой причине мы должны считать только ту часть объема, в которой электрон может разместиться. Ведь те объемы, которые уже заняты, нельзя причислять к числу возможных, и только те объемы, которые предоставлены ионам, можно рассматривать как места, вакант­ные для электронов. Тогда, учтя это

обстоятельство, мы найдем, что более точная формула записывается в виде