Feynmann 1

Обсудим теперь влияние ориентации системы координат на физические законы. Давайте посмотрим, не будут ли нам снова полезны Мик и Джо. Чтобы избежать ненужных сложностей, предположим, что эти молодые люди находятся в одной точке пространства (мы уже показали, что их системы координат можно перемещать). Пусть оси системы координат Мика по­вернуты относительно системы координат Джо на угол q, Обе системы координат изображены на фиг. 11.2, где мы ограничи­лись двумя измерениями.

Фиг. 11.2. Две координатные системы, ориентированные по-раз­ному.

Произвольная точка Р снабжается координатами (х, у) в системе Джо и (х', у') в системе Мика. Как и в предыдущем случае, начнем с того, что выразим коор­динаты х' и у' через х, у и q. Для этого опустим из Р перпенди­куляры на все четыре координатные оси и проведем АВ пер­пендикулярно PQ. Из чертежа ясно, что х' можно представить как сумму двух отрезков вдоль оси х', а у'— как разность двух отрезков вдоль АВ. Длины этих отрезков выражаются через х, у и 6; мы добавляем еще уравнение для третьей координаты:

х'=хcosq+-уsinq,

y'=ycosq -xsinq, (11.5)

z'=z.

Теперь (мы поступали так и раньше) установим соотношения между силами, измеряемыми двумя наблюдателями. Предполо­жим, что сила F, имеющая (с точки зрения Джо) составляющие F_x и F_y , действует на расположенную в точке Р на фиг. 11.2 частицу массы m. Для простоты сдвинем обе системы коорди­нат так, что начала их переместятся в точку Р, как показано на фиг. 11.3. Мик скажет нам, что сила, по его мнению, имеет составляющие F_x' и F_y' вдоль его осей.

Фиг. 11.3, Составляющие сил в двух системах.

Составляющая F_x, как и F_y, имеет составляющие вдоль обеих осей х' и у'. Чтобы выра­зить F_x' через F_x и F_y , сложим составляющие этих сил вдоль оси х'; точно таким же образом можно выразить и F_y' через F_х и F_y . В результате получим

F_x.=F_xcosq+F_ysmq,

F_y.=F_ycosq-F_xsmq, (11.6)

F_z' = F_z

Интересно отметить случайность, которая в дальнейшем ока­жется очень важной: формулы (11.5) и (11.6) для координат Р и составляющих F соответственно тождественны по форме. Как и раньше, предположим, что законы Ньютона справед­ливы в системе координат Джо и выражаются уравнениями (11.1). Снова возникает вопрос: может ли Мик пользоваться законами Ньютона, будут ли их предписания выполняться в повернутой системе координат? Другими словами, если пред­положить, что уравнения (11.5) и (11.6) дают связь между из­меряемыми величинами, то верно ли, что

Чтобы проверить эти уравнения, вычислим левые и правые части независимо, а затем сравним результаты. Чтобы вычис­лить левые части, умножим уравнения (11.5) на m и продиффе­ренцируем их дважды по времени, считая угол 9 постоянным. Это дает

Вычислим правые части уравнений (11.7), подставив (11.1] в уравнения (11.6). Получаем

Глядите! Правые части уравнений (11.8) и (11.9) тождест­венны; значит, если законы Ньютона верны в одной системе координат, то ими можно пользоваться и в другой системе. Эти рассуждения заставляют нас сделать некоторые важные выводы: во-первых, никто не может утверждать, что избранная им система координат единственна, она может быть, конечно, более удобной при решении частных задач. Например, удобно, но не обязательно взять направление силы тяжести за одну из осей координат. Во-вторых, это означает, что любой механизм, если только он является самостоятельным устройством и об­ладает всем необходимым для создания силы, будет работать одинаково, как бы его ни повернули.

§ 4. Векторы

Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, кото­рые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических зако­нов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач по­требовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к ми­нимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта си­стема, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый ре­зультат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику век­торного анализа.