Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Как топология пространства влияет на струну? Предположим, струнной теории нужны лишь два дополнительных измерения. Поскольку эти дополнительные измерения в струнной теории предположительно малы, представим «маленькое» двухмерное пространство – квадрат или прямоугольник – вроде плоскости, только конечной. Это пространство имеет один топологический тип. Теперь свернем из него цилиндр. Говоря геометрически, кажется, что он искривлен, однако считается плоским, как планарное пространство. Это означает, что у него нулевая кривизна: любая фигура, нарисованная на плоскости, может быть свернута в цилиндр без искажения расстояний между любыми двумя точками. Но цилиндр отличается от плоскости соединенностью – топологически. Например, на плоскости любой круг или другая простая замкнутая кривая могут быть сжаты до точки в пределах того же пространства. На поверхности цилиндра существуют кривые, с которыми так поступить нельзя, – например, любая кривая, располагающаяся вокруг оси цилиндра. Колебательное движение этого вида у струны в цилиндрическом пространстве ограничено и отличается от колебаний на плоскости, поэтому струнная теория предписывает Вселенной, имеющей такую форму, иные виды частиц и их взаимодействий. Цилиндр близко связан с другой фигурой – тором, он же пончик. Чтобы получить тор из цилиндра, достаточно соединить его края. Но возможны и гораздо более сложные топологии – например, вместо пончика с одной дыркой можно взять пончик со множеством дырок. Каждый имеет разные колебательные спектры. Чем больше измерений добавляем, тем сложнее возможные пространства, особенно если допустить неплоскость этих пространств. И во всех этих разнообразных пространствах возможные моды колебаний разнятся. Такое богатство видов колебаний и позволяет теории струн объяснять разнообразие элементарных частиц и их взаимодействий – во всяком случае, в теории.

Тут было бы так мило заявить, что из-за всяких логических требований к дополнительным измерениям струнной теории возможен лишь один вид пространства и что свойства элементарных частиц, соответствующие колебаниям струн в таком пространстве, – аккурат те, что мы наблюдаем в природе. Ага, размечтались. Но есть и хорошие новости. По крайней мере сгодятся не любые дополнительные измерения. Похоже, их должно быть шесть (к этому мы еще вернемся), и у них обязаны присутствовать особые свойства – они, к примеру, должны быть свернуты, как те, что в теории Калуцы. В 1985 году физики открыли класс пространств с самыми подходящими особенностями. Они называются пространствами Калаби-Яу [280] (или формами Калаби-Яу – они, вообще говоря, конечны). Как можно догадаться, шестимерные пространства Калаби-Яу несколько сложнее, чем, скажем, пончик с шоколадной глазурью. Но общее с пончиком у них есть – дырка. На самом деле число этих дырок может быть разным, и сами они тоже непростые, многомерные объекты, но это всё детали [281] . Суть в следующем: существует семейство струнных колебаний, связанных с каждой дыркой. Таким образом, струнная теория предсказывает наличие семейств у элементарных частиц. Это пример одной из замечательных «производных» от экспериментально наблюдаемых фактов, которые Стандартная модель вынуждена была включать «вручную», без теоретического объяснения. Это были хорошие новости.

А плохо вот что: существуют десятки тысяч известных видов пространств Калаби-Яу. Большинство содержит в себе более трех дырок, хотя элементарных частиц есть всего три семейства. А для расчетов, необходимых для вывода свойств частиц, которые лишь заявлены Стандартной моделью, т. е., допустим, массу и заряд частицы, физикам необходимо знать, какое из великого множества пространств выбрать. Пока никому не удалось найти такое пространство Калаби-Яу, которое давало бы физическому миру, каким мы его знаем, точное описание, т. е. Стандартную модель или фундаментальный физический принцип, который оправдал бы выбор именно этого пространства. Некоторые скептики считают, что такой подход никогда не принесет плодов. Но подобных критиков гораздо меньше, чем было поначалу, когда работа над теорией струн равнялась поцелую профессиональной смерти.

Глава 36. Струнные неприятности

Когда Намбу с коллегами предложили струнную теорию, у нее были некоторые особенности. Например, их теория не согласовывалась с теорией относительности, если не заставить некий неприятный фактор равняться нулю: [1 – ( D — 2)/24]. Любой старший школьник скажет, что у этого уравнения одно решение: D = 26. Но с этого все только начинается: D в этом уравнении есть число измерений пространства. Вскоре все заинтересуются работами Калуцы, вот только его пять измерений не покажутся ни избыточными, ни диковинными, а недостаточно диковинными.