Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Если Планк и впрямь победил в споре с Эйнштейном, и метрика ультрамикроскопического пространства флуктуирует в широком диапазоне значений, возникает другой вопрос, поглубже. Какова структура пространства на ультрамикроскопическом уровне? Ключ к ответу, похоже, – в идее, которую Фейнман и другие проглотили с таким трудом и за которую дразнили Шварца, однако он не считал это недостатком, а просто милой особенностью возлюбленной своей теории. В царстве ультрамикроскопичности есть, судя по всему, другие измерения, свернутые в себе самих, настолько малые, что, как и квант в 1899 году, остаются незамеченными. Они и есть ключевой ингредиент в спасительном снадобье для общей теории относительности. Именно о них размышлял, но позднее отбросил десятки лет назад сам создатель теории относительности.

Глава 33. Посланье в бутылке Клейна-Калуцы

За день до своей смерти Эйнштейн попросил, чтобы ему подали его последние расчеты по объединенной теории поля. Он тридцать лет бесплодно пытался изменить общую теорию относительности так, чтобы она охватывала и электромагнитные силы. Один из самых многообещающих вариантов возник у Эйнштейна в 1919 году, в самом начале его поисков, пока он разбирал почту. Идея посетила его сознание не напрямую, а через письмо одного нищего математика по имени Теодор Калуца.

В письме Эйнштейн нашел предложение, как можно объединить электромагнитные силы с гравитационными. У этой теории была одна маленькая странность. Эйнштейн написал в ответ: «Идея создания [объединенной теории] посредством пятимерного цилиндрического мира никогда не приходила мне в голову…» [268] Пятимерный цилиндр? Да кому вообще такое могло прийти в голову? Никто не знает, как Калуца до этого додумался, однако Эйнштейн в том же письме добавил: «Мне чрезвычайно симпатична ваша мысль». Сейчас нам понятно, что Калуца обогнал время, однако пожадничал измерений.

Мы уже видели, что общая теория относительности описывала, как материя влияет на пространство через метрику, чьи компоненты – g -факторы – сообщают, как именно измерять расстояние между соседними точками на основании разности их координат. Количество g -факторов зависит от количества измерений пространства. Например, в трехмерном пространстве их шесть. В плоском расстояние равно (разница между координатами х )2 + (разница между координатами у )2 + (разница между координатам z )2, т. е. g xx , g yy и g zz все равны 1, а факторы, соответствующие перекрестным – g xy , g yz и g xz – все равны нулю и их нет в уравнении. В четырехмерном неевклидовом пространстве из общей теории относительности выходит десять независимых g -факторов (принимая во внимание равенства типа g xy = g yx ), все они описываются уравнениями Эйнштейна. Калуца сначала осознал вот что: если взять пять измерений, возникнут еще g -факторы, отвечающие дополнительному измерению.

Далее Калуца задался вопросом: если формально расширить эйнштейново поле до пяти измерений, какие уравнения получатся для дополнительных g -факторов? Ответ ошеломительный: выходят уравнения Максвелла для электромагнитного поля! Начиная с пятого измерения электромагнетизм вдруг возникает в теории гравитации. Эйнштейн писал: «Формальное единство вашей теории поразительно» [269] .

Конечно, интерпретация метрики дополнительного измерения как физического электромагнитного поля требует некоторой возни с теорией. И что там, кстати, с той самой маленькой странностью – дополнительным измерением? Калуца утверждал, что оно конечно по длине, а еще точнее – такое маленькое, что мы бы и его и не заметили, даже если бы сами копошились внутри. Сверх того Калуца заявил, что новое измерение имеет новую топологию: в ней вместо прямой – окружность, т. е. оно замыкается на себе, свертывается (и поэтому, в отличие от конечной прямой, концов не имеет). Представьте Пятую авеню с нулевой шириной – в виде простой линии. В новом измерении Калуцы пересекающие ее улицы превратятся в окружности, прорезывающиеся из Пятой авеню. Разумеется, пересекающие улицы возникают с интервалом в квартал, но дополнительное измерение есть в каждой точке вдоль авеню. Таким образом если добавить линии новое измерение, она не обрастет окружностями, а превратится в цилиндр наподобие садового шланга. Только очень тонкого.

По сути, Калуца утверждал, что гравитация и электромагнетизм на самом деле суть компоненты одного и того же, но выглядят по-разному потому, что мы наблюдаем некоторое усредненное неощутимое движение крошечного четвертого пространственного измерения. Эйнштейн сомневался в теории Калуцы, однако чуть погодя все же передумал и в 1921 году помог Калуце опубликовать его теорию.