Этюды для программистов

Рисунок 14.6b. Результат хода Макса. Мин отвечает ходом из лунки 6.

Рисунок 14.6с. Позиция после ответа Мина. Макс отвечает ходом из лунки 2.

Рисунок 14.6d. Позиция после ответа Макса. Это всего лишь одна из примерно б3 подобных цепочек ходов.

Однако может оказаться недостаточным заглядывать вперед на два уровня. Несмотря на то что игра в калах обязательно кончается[18], предсказать, насколько далеко нужно заглянуть вперед, чтобы найти конец, оказывается весьма трудно. Каждый следующий уровень требует примерно в шесть раз больше времени и памяти, чем предыдущий. Надо что-то предпринять, чтобы остановить этот рост.

Этой цели служит статическая оценочная функция, дающая оценку позиции без построения дерева. В калахе мы воспользуемся разницей очков, получаемой как разность числа камней в калахах Макса и Мина. Если слегка изменить правила, потребовав, чтобы в калах победившего игрока сразу же перекладывались все камни, то разница очков всегда будет положительной, когда Макс имеет преимущество, а когда Макс выиграет, разница очков станет максимально возможной. Теперь Макс может выбирать тот из шести ходов, который максимизирует (не зря его зовут Макс) статическую оценочную функцию. Если два хода одинаковы с этой точки зрения, Макс может выбрать любой из них случайным образом.

Ну вот мы и ответили на вопрос о стратегии Макса. Так ли это? Если бы этим исчерпывалась стратегия калаха, то такая игра немногого бы стоила. Ведь Мин может ставить Максу ловушки, и, чтобы их избежать, Максу нужно смотреть вперед. Статическую опенку можно применять к позициям, лежащим глубоко в дереве и не являющимся заведомо выигрышными или проигрышными.

Пусть Макс хочет заглянуть вперед на d уровней. Будем считать, что начальная позиция лежит на уровне 0. Постройте все шесть мыслимых ходов, приводящих нас на уровень 1. Применяя в каждой позиции уровня 1 ходы Мина, получите все позиции уровня 2.

Продолжайте в том же духе, пока не построите все дерево вплоть до уровня d. Иногда может оказаться, что не все шесть ходов возможны, поскольку одна или несколько лунок пусты. Кроме того, некоторая ветвь может окончиться из-за хода, завершающего игру. Заметим, что все ходы на четных уровнях делает Макс, а на нечетных — Мин.

Теперь, чтобы перенести оценку с уровня d на уровень 0, выполните следующие действия на всех уровнях, начиная с уровня d и кончая нулевым. Примените статическую оценочную функцию ко всем листьям на рассматриваемом уровне. Это дает разницу очков в листьях. Для нелистовых узлов постройте оценку разницы очков, найдя максимум оценок по всем непосредственным преемникам данного узла, если он находится на четном уровне, и минимум, если узел — на нечетном уровне. Такой способ действий отвечает стремлению Макса максимизировать разрыв и стремлению Мина минимизировать его (или сделать более отрицательным). После того как пройден весь путь до нулевого уровня и найдена разница очков в исходном узле, выберите любой из шести ходов, позволяющий получить эту разницу очков. Отметим, что, как правило, все листья будут находиться на уровне d. Кроме того, при построении дерева можно всегда проходить каждую ветвь сначала вглубь,т.е. строить дерево в порядке перебора в глубину, а не в порядке перебора в ширину, как описано[19]. На рис. 14.7 показана часть возможного дерева игры. До листьев доведена лишь одна ветвь. Изображены правильные значения, вычисленные исходя из показанной на рисунке информации. Максу следует выбрать ход из лунки 1.

Рисунок 14.7. Возможное дерево игры. Полностью показан только один путь до низа дерева. Предполагается, что значения в кружках получены из анализа нижних уровней.

По сути дела, мы сейчас описали минимаксную процедуру для игры двух лиц. Как нетрудно видеть, для анализа на d уровней вперед необходимо построить около

позиций. Ввиду очень быстрого роста этой функции желательно иметь какое-либо средство, экономящее усилия. Альфа-бета-процедура при том же объеме работы позволяет иногда провести анализ на вдвое большую глубину.