Этюды для программистов

Рисунок 14.1. Игровое поле для калаха. Числа в лунках показывают количество находящихся там камней.

Рисунок 14.2а. Перед циклическим ходом Макса. Макс ходит из лунки 6.

Рисунок 14.2b. После циклического хода Макса. Калах Макса пополнялся дважды.

Есть два дополнения к правилу выполнения хода. Если последний камень попал в одну из непустых малых лунок игрока, делавшего ход, причем камни клались и в лунки противника, то делается повторный ход из лунки, в которую попал последний камень, по тем же правилам, что и первый. Игрок может сделать сколь угодно длинную серию повторных ходов. Если последний камень попал в одну из малых лунок противника, и в этой лунке стало два или три камня, то эти камни берутся в плен и помещаются в калах игрока, сделавшего ход. Если при пленении в предыдущей лунке также оказалось два или три камня, то и они забираются в плен. Теоретически игрок может за один ход полностью очистить сторону противника. Игра оканчивается, как только в калахе одного из игроков окажется больше половины всех камней (заметим, что если камень попал в калах, то он уже никогда его не покинет). Если у игрока, получившего очередь хода, не осталось ни одного камня в малых лунках, то игра немедленно прекращается и все камни противника попадают в калах противника. На рис. с 14.3 по 14.5 показаны некоторые типичные ходы.

Рисунок 14.3a. Серия ходов из лунки 6 Макса. Последний камень попадает в лунку 3 Макса, и из этой лунки делается повторный ход.

Рисунок 14.3b. После серии ходов. Камни из лунки 3 разложены в следующие лунки.

Рисунок 14.4а. Перед взятием в плен камней Мима. Ходом из лунки 3 Макс попадает в лунку 4 Мина.

Рисунок 14.4b. После взятия в плен камней из лунки 4 Мина. В калах Макса один камень попадает при раскладывании камней и еще три — при пленении.

Рисунок 14.5а. Многократный захват пленных Максом. Камни из лунок Мина 2, 3 и 4 берутся в плен одним ходом из лунки 6.

Рисунок 14.5b. Макс почти опустошил лунки Мина. Отметим, что Макс мог бы сделать ход с пленением из лунки 5 вместо лунки 6.

Программа для проверки правильности хода весьма проста. Выбор игрока ограничен максимум шестью возможностями для хода. После того как начальная лунка выбрана, легко находятся повторные ходы и взятия в плен. Для проверки окончания игры после хода надо лишь сравнить калах игрока, делавшего ход, с половиной общего числа камней. Конечно, отсюда никоим образом не следует, как находить наилучший в данной позиции ход.

Основная идея выбора хода состоит в построении дерева всех возможных продолжений из заданной позиции. Затем мы выбираем такую ветвь дерева, которая обеспечивает в конце концов победу. Для простоты изложения и еще по одной причине, которая вскоре станет понятной, мы будем называть компьютер Максом, а его противника — Мином. Предположим, что где-то в середине игры настала очередь хода компьютера. Макс может попытаться оценить положение, испробовав поочередно каждый из шести возможных ходов. Если один из них сразу же приводит к выигрышу, то Максу, очевидно, следует делать именно этот ход. Но что делать Максу, если ни один ход не ведет к немедленной победе? Как выбрать ход?

Максу следует проанализировать каждый ответ Мина на свои ходы. Допустим, один из этих ответов приводит к выигрышу Мина. Со стороны Макса было бы глупо делать ход, дающий Мину шанс на немедленную победу (хотя иногда Максу не избежать этого). В таком случае Макс узнает, какие ходы не делать. Однако, чтобы выбрать, какой ход делать, Максу придется построить еще один уровень ответов на ответы Мина к исходным ходам Макса. Если можно найти выигрышный ответ для некоторого множества ответов Мина, то Максу следует выбрать тот первоначальный ход, при котором Мину остаются только ответы, для которых есть выигрышный ответ Макса (помните дом, который построил Джек?). Если все это непонятно, попробуйте найти ходы, ответы и ответы на ответы для позиции с рис. 14.6.

Рисунок 14.6а. Ход Макса. Макс ходит из лунки 1.