Эйнштейн. Его жизнь и его Вселенная

Но представьте себе плоскую карту (карту мира, например), которая представляет собой проекции полусфер земного шара на плоскость. Местность вблизи полюсов растянута, и измерение расстояний становится более сложным. Если взять две пары точек с одинаковыми расстояниями между ними, но расположенные в разных местах карты, фактические расстояния между двумя соответствующими точками в Гренландии и вблизи экватора нужно вычислять по-разному. Риман разработал способы, позволяющие математически вычислить расстояние между точками в пространстве независимо от того, каким образом оно искривлено и искажено¹².

Для этого он использовал характеристику, называемую тензором. В евклидовой геометрии используются векторы – характеристики, которые имеют как величину, так и направление (например, и скорость, и сила являются векторами), и таким образом, для их описания требуется больше одного простого числа. В неевклидовой геометрии, где пространство искривлено, для его характеристики нам нужен какой-то более сложный геометрический объект, который определяется с помощью упорядоченного набора (матрицы) большего количества чисел (компонентов). Эти объекты называются тензорами.

Метрический тензор является математическим инструментом, который показывает, как рассчитать расстояние между точками в данном пространстве[49]. Для двумерных карт метрический тензор имеет три компоненты. Для трехмерного пространства он имеет шесть независимых компонент. А когда вы переходите к нашему знаменитому четырехмерному пространству, называемому пространством – временем, метрический тензор определяется уже десятью независимыми компонентами.

Риман развил концепцию метрического тензора, обычно обозначаемого символом gμν (произносится как джи-мю-ню). Он имеет шестнадцать компонентов, десять из которых независимы друг от друга и могут быть использованы для определения и описания расстояний в искривленном четырехмерном пространстве – времени¹³.

В работе по обобщению теории относительности Эйнштейн с Гроссманом стали использовать и тензор Римана, и другие тензоры, введенные итальянскими математиками Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивитой. Полезное свойство этих тензоров состоит в том, что они общековариантны, и это свойство оказалось важным, поскольку их общековариантность означает, что отношения между их компонентами остаются постоянными, даже когда происходят произвольные изменения или вращения системы координат в пространстве – времени. Другими словами, компоненты этих тензоров могут подвергаться множеству преобразований, связанных с изменениями системы отсчета, но основные закономерности, определяющие соотношения компонент тензора, должны оставаться неизменными¹⁴.

Когда Эйнштейн формулировал свою общую теорию относительности, главной его целью было найти математические уравнения, описывающие два взаимодополняющих процесса.

1. Нужно определить закон движения материи при воздействии на нее гравитационного поля.

2. Нужно определить, как искривится пространство – время под действием гравитационного поля, создаваемого в нем материей.

Его невероятно проницательная догадка состояла в том, что гравитация может быть определена как кривизна пространства – времени, и поэтому ее можно описать метрическим тензором. На протяжении более трех лет он будет судорожно искать правильные уравнения для того, чтобы связать воедино геометрические и физические характеристики¹⁵.

Годы спустя, когда его младший сын Эдуард спросит, чем он так знаменит, Эйнштейн ответит, используя простой образ для описания его грандиозной идеи о том, что гравитация – это искривление самой ткани пространства – времени. “Когда слепой жук ползет по поверхности изогнутой ветки, он не замечает, что в действительности движется по искривленной поверхности, – скажет он. – Мне повезло заметить то, что не заметил жук”¹⁶.

“Цюрихский блокнот”, 1912 год

Начиная с лета 1912 года Эйнштейн бился над выводом уравнения гравитационного поля, используя тензоры Римана и Риччи, а также некоторые другие. По записям в его блокноте, проливающим свет на ход его мыслей, можно проследить за первым этапом этих трудных поисков. Этот “Цюрихский блокнот” на протяжении нескольких лет расшифровывался и разбирался по косточкам командой ученых, в числе которых были Юрген Ренн, Джон Д. Нортон, Тильман Зауэр, Мишель Янссен и Джон Стэчел¹⁷.

В своих попытках решить проблему Эйнштейн использовал два подхода. В первом он применял так называемую физическую стратегию, с помощью которой пытался построить правильные уравнения исходя из набора требований, продиктованных его пониманием физики. В то же время он использовал и “математическую стратегию” – пытался вывести правильные уравнения из более формальных математических требований, используя тензорный анализ, как ему и рекомендовал Гроссман и другие математики.