Движение. Теплота

В цирке много раз показывали как захватывающий аттракцион вертикальную «мертвую петлю». Велосипедист или тележка с акробатом устанавливаются на высоком помосте. Ускоряющийся спуск, затем подъем. Вот акробат уже в положении вниз головой, опять спуск – и мертвая петля описана. Рассмотрим задачу, которую приходится решать инженеру цирка. На какой высоте надо сделать помост, с которого начинается спуск, чтобы акробат не свалился в наивысшей точке мертвой петли? Условие нам известно: центробежная сила, прижимающая акробата к помосту, должна уравновесить силу тяжести, направленную в противоположную сторону. Значит, mg ≤ mv²/r где r – радиус мертвой петли, а v – скорость движения в верхней точке петли. Для того чтобы эта скорость была достигнута, надо начать движение с места, расположенного выше верхней точки петли на некоторую величину h. Начальная скорость акробата равна нулю, поэтому в верхней точке петли v² = 2gh. Но, с другой стороны, v² ≥ gr. Значит, между высотой h и радиусом петли имеется соотношение h ≥ r/2. Помост должен возвышаться над верхней точкой петли на величину, не меньшую половины радиуса петли. Учитывая неизбежную силу трения, приходится, конечно, брать некоторый запас высоты.

А вот еще одна задача. Возьмем круглый купол, очень гладкий, чтобы трение было минимальным. На вершину положим небольшой предмет и едва заметным толчком дадим ему возможность скользить по куполу. Рано или поздно скользящее тело отделится от купола и начнет падать. Мы можем легко решить вопрос, когда именно тело оторвется от поверхности купола: в момент отрыва центробежная сила должна равняться составляющей веса на направление радиуса (в этот момент тело перестанет давить на купол, а это и есть момент отрыва). На рис. 34 видны два подобных треугольника; изображен момент отрыва. Составим отношение катета к гипотенузе для треугольника сил и приравняем к соответствующему отношению сторон другого треугольника:

Здесь r – радиус сферического купола, а h – разность высот от начала до конца скольжения. Теперь используем закон о независимости конечной скорости от формы пути. Так как начальная скорость тела предполагается равной нулю, то v² = 2gh. Подставив это значение в написанную выше пропорцию и произведя арифметические преобразования, найдем: h = r/3. Значит, тело оторвется от купола на высоте, находящейся на 1/3 радиуса ниже вершины купола.

Закон сохранения механической энергии

Мы убедились на только что рассмотренных примерах, как полезно знать величину, не изменяющую свое численное значение (сохраняющуюся) при движении.

Пока мы знаем такую величину лишь для одного тела. А если в поле тяжести движется несколько связанных тел? Считать, что для каждого из них остается верным выражение v²/2 + gh, явно нельзя, так как каждое из тел находится под действием не только силы тяжести, но и соседних тел. Может быть сохраняется сумма таких выражений, взятая для группы рассматриваемых тел?

Сейчас мы покажем, что это предположение неправильно. Сохраняющаяся при движении многих тел величина существует, но она не равна сумме

а равна сумме подобных выражений, умноженных на массы соответствующих тел; иначе говоря, сохраняется сумма

Для доказательства этого важнейшего закона механики обратимся к следующему примеру.

Через блок перекинуты два груза, – большой массы M и маленький массы m. Большой груз тянет маленький, и эта группа из двух тел движется с возрастающей скоростью.

Движущей силой является разность в весе этих тел, Mg − mg. Так как в ускоренном движении участвует масса обоих тел, то закон Ньютона для этого случая будет записан так:

(M − m)g = (M + m)a.

Рассмотрим два момента движения и покажем, что сумма выражений v²/2 + gh, помноженных на соответствующие массы, действительно остается неизменной. Итак, требуется доказать равенство

Заглавными буквами обозначены физические величины, характеризующие большой груз. Индексы 1 и 2 относят здесь величины к двум рассматриваемым моментам движения.

Так как грузы связаны веревкой, то v₁ = V₁, v₂ = V₂. Используя эти упрощения и перенося все члены, содержащие высоты, вправо, а члены со скоростями – влево, получим:

Разности высот грузов, разумеется, равны (но с обратным знаком, так как один груз поднимается, а другой опускается). Таким образом,

где S – пройденный путь.

На стр. 46 мы узнали, что разность квадратов скоростей v₁² − v₂² в начале и конце отрезка S пути, проходимого с ускорением a, равна

v₁² − v₂² = 2aS.

Подставляя это выражение в последнюю формулу, найдем:

(m + M)a = (M − m)g.

Но это есть закон Ньютона, записанный выше для нашего примера. Этим доказано требуемое: для двух тел сумма выражений v²/2 + gh, умноженных на соответствующие массы*8, во время движения остается неизменной, или, как говорят, сохраняется, т.е.

Для случая с одним телом эта формула перейдет в ранее доказанную:

Половина произведения массы на квадрат скорости называется кинетической энергией K:

Произведение веса тела на высоту называют потенциальной энергией тяготения тела к Земле U: